Question

如圖，函數(shù)y=

k

2x

和y=

1

2

x的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△BOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的點(diǎn)P都求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵A為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，把A點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入y=

1

2

x得，y=

1

2

×2=1，
∴A（2，1），
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=

k

x

（k≠0），把A（2，1）代入得，
1=

k

2

，k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

2

x

；（3分）

（2）由

y= 2 x y= 1 2 x

，
解得

x1=2 y1=1

，

x2=-2 y2=-1

，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-2，-1）．（5分）
解法二：由對(duì)稱性，A與B關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱；
∵A（2，1），∴B（-2，-1）（5分）

（3）作BC⊥x軸，垂足為C，
∵B（-2，-1），∴OC=2，BC=1，
在Rt△OBC中，由勾股定理得，
OB=

OC2+BC2

=

12+22

=

5

．（6分）
分三種情況討論：
①當(dāng)OB=OP時(shí)，P₁（

5

，0），P₂（-

5

，0）；（8分）
②當(dāng)OB=BP₃時(shí)，OP₃=2OC=4，∴P₃（-4，0）．（9分）
③作OB的垂直平分線交OB于D．
設(shè)P₄（x，0），則OP₄=BP₄=-x，CP₄=2+x，BC=1．
（2+x）²+1²=（-x）²，
x=-

5

4

∴p₄（-

5

4

，0），（11分）
綜上所述，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為：
P₁（

5

，0）、P₂（-

5

，0）、P₃（-4，0）、p₄（-

5

4

，0）．（12分）