Question

【題目】如圖，AB 是⊙O 的一條弦，C 是 AB 的中點，過點 C 作直線垂直于OA 于點 D，交過點 B 的⊙O 的切線于點 E．

（1）求證：BE＝CE；

（2）若⊙O 的半徑長為 8，AB＝12，求 BE 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE＝4．

【解析】

（1）欲證明BE=CE，只要證明∠ECB=∠EBC；
（2）作EF⊥AB于F，連接OC．根據(jù)cos∠ECF=cos∠AOC===，計算即可；

（1）證明：結(jié)論：△EBC 是等腰三角形； 理由∵AO＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵BE 是切線，

∴OB⊥BE，

∴∠OBE＝90°，

∴∠OBC+∠CBE＝90°，

∵CD⊥OA，

∴∠CAD+∠ACD＝90°，

∵∠ACD＝∠ECB，

∴∠CBE＝∠ECB，

∴EC＝EB，

（2）解：作 EF⊥AB 于 F，連接 OC．

∵EC＝EB，AC＝CB＝6，

∴BF＝CF＝ BC＝3，OC⊥AB，

∵∠AOC+∠A＝90°，∠ECF+∠A＝90°，

∴∠AOC＝∠ECF＝∠EBF，

∴cos∠ECF＝cos∠AOC＝ ＝＝，

∴BE＝4．