Question

11．如圖，已知AC是矩形ABCD的對(duì)角線，過AC的中點(diǎn)O的直線EF，交BC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)E，連接AF，CE．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若EF⊥AC，試判斷四邊形AFCE是什么特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根據(jù)平行線得出∠EAO=∠FCO，根據(jù)ASA推出兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等得出OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC即可推出四邊形是菱形；

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵O是AC的中點(diǎn)，
∴AO=CO，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）解：四邊形AFCE是菱形；理由如下：
理由是：由（1）△AOE≌△COF得：OE=OF
又∵OA=OC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵EF⊥AC
∴平行四邊形AFCE是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．