Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=20，點P在AB上，AP=6．點E以每秒2個單位長度的速度，從點P出發(fā)沿線段PA向點A作勻速運動，點F同時以每秒1個單位長度的速度，從點P出發(fā)沿線段PB向點B作勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿線段AB向點B運動，點F運動到點B時，點E隨之停止．在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側．設E、F運動的時間為t秒（t＞0），正方形EFGH與△ABC重疊部分的面積為S．

（1）當t=1時，正方形EFGH的邊長是　3　；當t=4時，正方形EFGH的邊長是　8　；

（2）當0＜t≤3時，求S與t的函數關系式．

Answer 1

【考點】相似形綜合題；等腰三角形的判定與性質；正方形的性質．

【分析】（1）當t=1時，根據PE=2t，PF=t即可求出EF的值，當t=4時，點E運動到點A后返回，PE=2AP﹣2t，PF=t，由此即可求出EF的值；

（2）當點H在線段AC上時，可求出t=，可分兩種情況討論：當0＜t≤時，S=S_{正方形EFGH}=EF²，只需用t的代數式表示出EF即可解決問題；當＜t≤3時，S=S_{五邊形EFGMN}=S_{正方形EFGH}﹣S_△MHN=EF²﹣HN•HM，只需用t的代數式分別表示出EF、HN、HM即可解決問題．

【解答】解：（1）當t=1時，PE=2×1=2，PF=1×1=1，EF=EP+PF=2+1=3．

當t=4時，PE=12﹣2×4=4，PF=1×4=4，EF=EP+PF=4+4=8．

故答案分別為：3、8；

（2）當點H在線段AC上時，

則有AE=HE=EF，即6﹣2t=3t，

解得：t=．

①當0＜t≤時，

EF=EP+PF=2t+t=3t，

則S=9t²；

②當＜t≤3時，

∵∠C=90°，AC=BC，

∴∠A=45°．

∵四邊形EFGH是正方形，

∴HE=EF=3t，∠H=∠HEF=90°，

∴∠ANE=90°﹣45°=45°，

∴∠ANE=∠A=45°，

∴NE=AE=AP﹣EP=6﹣2t，

∴HN=HE﹣NE=3t﹣（6﹣2t）=5t﹣6．

∵∠HNM=∠ANE=45°，

∴∠HMN=90°﹣45°=45°，

∴∠HMN=∠HNM=45°，

∴HM=HN=5t﹣6，

∴S=S_{正方形EFGH}﹣S_△NHM

=（3t）²﹣（5t﹣6）²

=﹣t²+30t﹣18．

綜上所述：S與t的函數關系式為

S=．