Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=，BC=，DC=，
且，點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)．
（1）求證：CM⊥DM；
（2）求點(diǎn)M到CD邊的距離．（用含，的式子表示）

Answer 1

證明：（1）延長(zhǎng)DM，CB交于點(diǎn)E．（如圖3）

∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADM=∠BEM．
∵點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，
∴AM=BM．
在△ADM與△BEM中，
       ∠ADM=∠BEM，
∠AMD=∠BME，
AM=BM，
∴△ADM≌△BEM． 
∴AD=BE=，DM=EM．
∴CE=CB+BE=．
∵CD=，
∴CE=CD．
∴CM⊥DM．
解：（2）分別作MN⊥DC，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)N，F(xiàn)．（如圖4）

∵CE=CD，DM=EM，
∴CM平分∠ECD．              
∵∠ABC= 90°，即MB⊥BC，             
∴MN=MB． 
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠A=90°．
∵∠DFB=90°，
∴四邊形ABFD為矩形．
∴BF= AD=，AB= DF． 
∴FC= BC－BF =．              
∵Rt△DFC中，∠DFC=90°，
∴==．
∴ DF=．
∴MN=MB=AB=DF=．
即點(diǎn)M到CD邊的距離為．

（1）等腰三角形三線(xiàn)合一，證得CE=CD，即可得CM⊥DM；
（2）構(gòu)建直角三角形利用勾股定理求解。