Question

【題目】如圖，矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處，折痕AO與邊BC交于點O，連結(jié)AP、OP．

（1）求證：△PDA∽△OCP；

（2）若tan∠PAO＝，求CP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)可知∠B=∠C=∠D=90°，由翻折可知，∠APC=90°，利用余角的性質(zhì)可知∴∠DAP=∠CPO，即可由相似三角形的判定推出結(jié)論；

（2）利用正弦函數(shù)的定義及相似三角形的性質(zhì)可直接求出CP的長．

（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠B=∠C=∠D=90°，

由折疊，可知：∠APO=∠B=90°，

∴∠APD+∠CPO=90°，

∵∠APD+∠DAP=90°，

∴∠DAP=∠CPO，

∴△PDA∽△OCP；

（2）由折疊，可知：∠APO=∠B=90°，AP=AB，PO=BO，

∴tan∠PAO=，

∵△PDA∽△OCP，

∴，

∵AD=8，

∴CP=4．