【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠B＝120°．點(diǎn)P是對角線AC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)A重合），則線段
AP+PD的最小值為_____．
【答案】2
【解析】
作PE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，由菱形的性質(zhì)可得∠DAC=∠CAB，AB=BC，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得PE=
AP，AF=AD=2，DF=AF=2，可得AP+PD=PE+DP，則點(diǎn)D，點(diǎn)P，點(diǎn)E三點(diǎn)共線且垂直AB時(shí)，PE+DP的值最小，即可求線段AP+PD的最小值．
解：如圖，作PE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，
∵四邊形ABCD是菱形
∴∠DAC=∠CAB，AB=BC，且∠B=120°
∴∠CAB=30°
∴PE=AP，∠DAF=60°
∴∠FDA=30°，且DF⊥AB
∴AF=AD=2，DF=AF=2
∵AP+PD=PE+DP
∴當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)P，點(diǎn)E三點(diǎn)共線且垂直AB時(shí)，PE+DP的值最小，最小值為DF，
∴線段AP+PD的最小值為2
故答案為：2
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】問題背景：
如圖①，在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究線段AC，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系．
小吳同學(xué)探究此問題的思路是：將△BCD繞點(diǎn)D，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點(diǎn)B，C分別落在點(diǎn)A，E處（如圖②），易證點(diǎn)C，A，E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=
CD，從而得出結(jié)論：AC+BC=CD．
簡單應(yīng)用：
（1）在圖①中，若AC=2，BC=4，則CD= ．
（2）如圖③，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙上，弧AD＝弧BD，若AB=13，BC=12，求CD的長．
拓展規(guī)律：
（3）如圖4,△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)E滿足AE=
AC，CE=CA，且點(diǎn)E在直線AC的左側(cè)時(shí)，點(diǎn)Q為AE的中點(diǎn)，則線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是 ．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如果售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果售價(jià)超過50元但不超過80元，每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣1件；如果售價(jià)超過80元后，若再漲價(jià)，則每漲1元每月少賣3件．設(shè)每件商品的售價(jià)為x元，每個(gè)月的銷售量為y件．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；
（2）設(shè)每月的銷售利潤為W，請直接寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在
中，
，
，
.
（1）點(diǎn)
從點(diǎn)
開始沿
邊向
以
的速度移動(dòng)，點(diǎn)
從點(diǎn)開始沿
邊向點(diǎn)
以
的速度移動(dòng).如果點(diǎn)，分別從，同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒，
的面積等于
？
（2）點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng).如果點(diǎn)，分別從，同時(shí)出發(fā)，線段
能否將分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能，請說明理由.
（3）若點(diǎn)沿線段方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)沿射線
方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動(dòng)，，同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，的面積為
？
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在一元二次方程中，有著名的韋達(dá)定理：對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，那么x1+x2＝﹣
，x1x2＝
（說明：定理成立的條件△≥0）．比如方程2x2﹣3x﹣1＝0中，△＝17，所以該方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解．記方程的兩根為x1，x2，那么x1+x2＝
，x1x2＝﹣
，請根據(jù)閱讀材料解答下列各題：
（1）已知方程x2﹣3x﹣2＝0的兩根為x1、x2，且x1＞x2，求下列各式的值：
①x12+x22；②
；
（2）已知x1，x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
①是否存在實(shí)數(shù)k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）＝﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
②求使
的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖1，△ABC為等腰三角形，AB=AC=a，P點(diǎn)是底邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD∥AC，PE∥AB．
⑴用a表示四邊形ADPE的周長為 ；
⑵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ADPE是菱形，請說明理由；
⑶如果△ABC不是等腰三角形(圖2)，其他條件不變，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ADPE是菱形(不必說明理由)．
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，一段拋物線：
，記為
，它與
軸交于兩點(diǎn)
，
：將繞旋轉(zhuǎn)
得到
，交軸于
：將繞旋轉(zhuǎn)得到
，交軸于
.過拋物線，頂點(diǎn)的直線與，，圍成的如圖中的陰影部分，那么該面積為_________.
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在單位為1的方格紙上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，4，6，…的等直角三角形，若△A1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A1（2，0），A2（1，1），A3（0，0），則依圖中所示規(guī)律，A2019的坐標(biāo)為（ ）
A.（﹣1008，0）B.（﹣1006，0）C.（2，﹣504）D.（1，505）
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四邊形ABCD中，
，E為邊BC上一點(diǎn)，且EC=AD，連接AC.
（1）求證：四邊形AECD是矩形；
（2）若AC平分∠DAB，AB=5，EC=2，求AE的長，
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