Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=2x²+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，a），B（3，a），且最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4．
（1）求拋物線的表達(dá)式及a的值；
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，記拋物線在點(diǎn)A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點(diǎn)），如果直線DP與圖象G恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求點(diǎn)P縱坐標(biāo)t的取值范圍．
（3）拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足S_△QAB=12，并求出此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A和B的縱坐標(biāo)相同，則一定是對(duì)稱點(diǎn)，則可以求得對(duì)稱軸，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求得，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式和a的值；
（2）首先求出直線CD的表達(dá)式和直線BD的表達(dá)式，然后求得直線BD與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)圖象即可確定；
（3）首先求得AB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得AB邊上的高，從而求得Q的縱坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式求得Q的橫坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=2x²+mx+n過(guò)點(diǎn)A（-1，a ），B（3，a），
∴拋物線的對(duì)稱軸x=1．
∵拋物線最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，
∴拋物線的頂點(diǎn)是（1，-4）．
∴拋物線的表達(dá)式是y=2（x-1）²-4，
即y=2x²-4x-2．
把A（-1，a ）代入拋物線表達(dá)式y(tǒng)=2x²-4x-2，則a=4；
（2）∵拋物線頂點(diǎn)C（1，-4）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，
∴D（-1，-4）．
求出直線CD的表達(dá)式為y=-4．
B的坐標(biāo)是（3，4），設(shè)BD的解析式是y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{-k+b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
則直線BD的表達(dá)式為y=2x-2，當(dāng)x=1時(shí)，y=0．
所以-4＜t≤0；
（3）存在點(diǎn)Q，使△QAB的面積等于12，
AB=3-（-1）=4，
設(shè)P到AB的距離是d，則$\frac{1}{2}$×4d=12，
解得：d=6，
則Q的縱坐標(biāo)是4-6=-2，或4+6=10．
當(dāng)Q的縱坐標(biāo)是-2時(shí)，在y=2x²-4x-2中令y=-2，則2x2-4x=0，
解得：x=0或2，
則Q的坐標(biāo)是（0，-2）或（2，-2）；
當(dāng)Q的坐標(biāo)是10時(shí)，在y=2x²-4x-2中令y=-2，則2x2-4x-2=10，
解得：x=1+$\sqrt{7}$或1-$\sqrt{7}$，
則Q的坐標(biāo)是（1+$\sqrt{7}$，10）或（1-$\sqrt{7}$，10）．
總之，Q的坐標(biāo)是：（0，-2）或（2，-2）或（1+$\sqrt{7}$，10）或（1-$\sqrt{7}$，10）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及三角形的面積公式，根據(jù)三角形的面積公式確定Q的縱坐標(biāo)是關(guān)鍵．