Question

【題目】如圖，在ABCD中，AB=4，AD=5，tanA=，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB﹣BC以每秒1個(gè)單位長度的速度向中點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB，交折線AD﹣DC于點(diǎn)Q，將線段PQ繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PR，連接QR．設(shè)△PQR與ABCD重疊部分圖形的面積為S（平方單位），點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．

（1）當(dāng)點(diǎn)R與點(diǎn)B重合時(shí)，求t的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PQ的長（用含有t的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)點(diǎn)R落在ABCD的外部時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）直接寫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，△PCD是等腰三角形時(shí)所有的t值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（9﹣t）；（3）①S =﹣t2+t﹣；②S=﹣t2+8．③S=（9﹣t）2;（4）4或或5或．

【解析】

（1）根據(jù)題意點(diǎn)R與點(diǎn)B重合時(shí)t+t=4，即可求出t的值；

（2）根據(jù)題意運(yùn)用t表示出PQ即可；

（3）當(dāng)點(diǎn)R落在□ABCD的外部時(shí)可得出t的取值范圍，再根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式；

（4）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

解：（1）∵將線段PQ繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段PR，

∴PQ=PR，∠QPR=90°，

∴△QPR為等腰直角三角形．

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，AP=t，PQ=PQ=APtanA=t．

∵點(diǎn)R與點(diǎn)B重合，

∴AP+PR=t+t=AB=4，

解得：t=．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí)，4≤t≤9，CP=9﹣t，

∵tanA=，

∴tanC=，sinC=，

∴PQ=CPsinC=（9﹣t）．

（3）①如圖1中，當(dāng)＜t≤3時(shí)，重疊部分是四邊形PQKB．作KM⊥AR于M．

∵△KBR∽△QAR，

∴=，

∴=，

∴KM=（t﹣4）=t﹣，

∴S=S△PQR﹣S△KBR=×（t）2﹣×（t﹣4）（t﹣）=﹣t2+t﹣．

②如圖2中，當(dāng)3＜t≤4時(shí)，重疊部分是四邊形PQKB．

S=S△PQR﹣S△KBR=×4×4﹣×t×t=﹣t2+8．

③如圖3中，當(dāng)4＜t＜9時(shí)，重疊部分是△PQK．

S=S△PQC=××（9﹣t）（9﹣t）=（9﹣t）2．

（4）如圖4中，

①當(dāng)DC=DP1=4時(shí)，易知AP1=4，t=4．

②當(dāng)DC=DP2時(shí)，CP2=2CD=，

∴BP2=，

∴t=4+=．

③當(dāng)CD=CP3時(shí)，t=5．

④當(dāng)CP4=DP4時(shí)，CP4=2÷=，

∴t=9﹣=．

綜上所述，滿足條件的t的值為4或或5或．