Question

如圖，以AB為直徑的半圓O交AC于點(diǎn)D，且點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，AE交半圓O于點(diǎn)F，BF的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)G．
（1）求證：DE為半圓O的切線；
（2）若GE=1，BF=

3

2

，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OD，如圖，
∵AB為半圓O的直徑，D為AC的中點(diǎn)，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥DO，
又∵點(diǎn)D在圓上，
∴DE為半圓O的切線；

（2）∵AB為半圓O的直徑，
∴∠AFB=90°，
而DE⊥BC，
∴∠GEB=∠GFE=90°，
∵∠BGE=∠EGF，
∴△BGE∽△EGF
∴

GE

GB

=

GF

GE

，
∴GE²=GF•GB=GF（GF+BF）
∵GE=1，BF=

3

2

，
∴GF=

1

2

，
在Rt△EGF中，EF=

GE2-GF2

=

3

2

．