Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（6，1），C（5，0），且與y軸交于點(diǎn)A．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OA，交線(xiàn)段OA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)Q，如果∠PAB＝45°．求證：△PQA∽△ACB；

（3）若點(diǎn)F是線(xiàn)段AB（不包含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′恰好在上述拋物線(xiàn)上，求FF′的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+5，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，5）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）將點(diǎn)B、C代入拋物線(xiàn)解析式y＝x2+mx+n即可；

（2）先證△ABC為直角三角形，再證∠QAP+∠CAB＝90°，又因∠AQP＝∠ACB＝90°，即可證△PQA∽△ACB；

（3）做點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，求出BB'的坐標(biāo)，直線(xiàn)AB'的解析式，即可求出點(diǎn)F'的坐標(biāo)，接著求直線(xiàn)FF'的解析式，求出其與AB的交點(diǎn)即可．

解：（1）將B（6，1），C（5，0）代入拋物線(xiàn)解析式y＝x2+mx+n，

得

解得，m＝﹣，n＝5，

則拋物線(xiàn)的解析式為：y＝x2﹣x+5，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，5）；

（2）∵AC＝，BC＝，AB＝，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC為直角三角形，且∠ACB＝90°，

當(dāng)∠PAB＝45°時(shí)，點(diǎn)P只能在點(diǎn)B右側(cè)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y 軸于點(diǎn)Q，

∴∠QAB+∠OAB＝180°﹣∠PAB＝135°，

∴∠QAP+∠CAB＝135°﹣∠OAC＝90°，

∵∠QAP+∠QPA＝90°，∴∠QPA＝∠CAB，

又∵∠AQP＝∠ACB＝90°，∴△PQA∽△ACB；

（3）做點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，則A，F'，B'三點(diǎn)共線(xiàn)，

由于AC⊥BC，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)B'（4，﹣1），

將B'（4，﹣1）代入直線(xiàn)y＝kx+5，

∴k＝﹣，∴yAB'＝﹣x+5，

聯(lián)立解得，x1＝，x2＝0（舍去），

則F'（，﹣），

將B（6，1），B'（4，﹣1）代入直線(xiàn)y＝mx+n，

得，解得，∴yBB'＝x﹣5，

由題意知，kFF'＝KBB'，∴設(shè)yFF'＝x+b，

將點(diǎn)F'（，﹣）代入，得，b＝﹣，

∴yFF'＝x﹣，

聯(lián)立解得，

∴F（，），

則FF'＝＝．