Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點為B，OC∥AD，BA，CD的延長線相交于點E．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）若⊙O半徑為4，∠OCE=30°，求△OCE的面積．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）16.

【解析】

（1）首先連接OD，易證得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的對應角相等，求得∠CDO=90°，即可證得直線CD是⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OE=R+1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求解即可．

（1）證明：連接DO，如圖，

∵AD∥OC，

∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，

又∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ADO，

∴∠COD=∠COB．

在△COD和△COB中

,

∴△COD≌△COB（SAS），

∴∠CDO=∠CBO．

∵BC是⊙O的切線，

∴∠CBO=90°，

∴∠CDO=90°，

∴OD⊥CE，

又∵點D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：由（1）可知∠OCB=∠OCD=30°，

∴∠DCB=60°，

又BC⊥BE，

∴∠E=30°，

在Rt△ODE中，∵tan∠E=，

∴DE==4，

同理DC=OD=4，

∴S△OCE=ODCE=×4×8=16．