Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+6x﹣5與x軸交于A，B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C．點P是拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為點H，交直線BC于點E．

（1）求點A，B，C的坐標；

（2）連接CP，當CP平分∠OCB時，求點P的坐標；

（3）平面直角坐標系內是否存在點Q，使得以點P，E，B，Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為（0，﹣5）；（2）當CP平分∠OCB時，點P的坐標為（5，42）；（3）存在點Q，使以點P，E，B，Q為頂點的四邊形為菱形．此時點Q的坐標為（﹣1，0），（5，52），（5，﹣4）或（5，﹣2﹣5）．

【解析】

（1）令y=0，求出x的值，即可得A、B兩點坐標，令x=0，求出y的值，即可得C得坐標；（2）由PE⊥x軸可得PE//OC，即可證明∠OCP＝∠CPE，由CP平分∠OCB即可證明∠PCE＝∠CPE，可得PE=CE，根據B、C坐標可得OB=OC、直線BC的解析式，設P（x，﹣x2+6x﹣5），可得點E的坐標為（x，x﹣5），根據OB=OC可得CE=x，根據PE=CE列方程求出x的值即可得答案；（3）設P（x，﹣x2+6x﹣5），則E（x，x﹣5），當BQ為對角線時，根據菱形的性質可得BQ⊥PE，由PE⊥x軸可得點Q在x軸上，可得PH=EH，可求出H點坐標，根據BH=QH即可得Q點坐標；當點P在x軸上方時，PE＝EB＝BQ＝QP，分別用x表示出PE、BE的長，列方程求出x的值即可；當點P與點A重合時，根據PE=AB，可得E點坐標，由PB＝PE＝EQ＝QB，∠EAB=90°，即可得Q點坐標；當點P在x軸下方時，PE＝EB＝BQ＝QP，分別用x表示出PE、BE的長，列方程求出x的值即可；綜上即可得答案.

（1）拋物線y＝﹣x2+6x﹣5與x軸交于A，B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C

令y＝0時，得﹣x2+6x﹣5＝0，解得x1＝1，x2＝5，

∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（5，0）

令x＝0時，y＝﹣5，

∴點C的坐標為（0，﹣5）

（2）當CP平分∠OCB時，∠OCP＝∠ECP，

∵PE⊥x軸，

∴PE//OC，

∴∠OCP＝∠CPE，

∴∠PCE＝∠CPE，

∴PE＝EC．

由題意可得直線BC的解析式為y＝x﹣5

設點P的坐標為（x，﹣x2+6x﹣5），則點E的坐標為（x，x﹣5），

∴PE＝﹣x2+6x﹣5﹣（x﹣5）＝﹣x2+5x．

∵B（5，0），C（0，-5），

∴OB＝OC=5，

∴CE=OH，

∴CE=x，

∴﹣x2+5x=x，

解得x1＝0（不合題意），x2＝5，

當x＝5時，﹣x2+6x﹣5＝42．

∴當CP平分∠OCB時，點P的坐標為（5，42）；

（3）存在點Q，使以點P，E，B，Q為頂點的四邊形為菱形．此時點Q的坐標為（﹣1，0），（5，52），（5，﹣4）或（5，﹣2﹣5）

理由如下：

設點P的坐標為（x，﹣x2+6x﹣5），則點E的坐標為（x，x﹣5），

如圖1，當BQ為對角線時：

∵PQEB是菱形，

∴PE⊥QB，PH＝HE，QH＝HB，

∴點Q在x軸上，

此時yP＝﹣yE，即﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣5），

解得x1＝2，x2＝5（不合題意，舍去），

∴H（2，0），

∴QH＝HB＝3，

∴點Q的坐標為（﹣1，0）．

如圖2，當點P在x軸上方，且PE＝EB＝BQ＝QP時，四邊形PEBQ為菱形．

∵PE＝﹣x2+6x﹣5﹣（x﹣5）＝﹣x2+5x，BE=BH（5﹣x），

∴﹣x2+5x（5﹣x），

解得x1＝5（不合題意，舍去），x2．

當x時，BQ＝PE＝52，

∴點Q的坐標為（5，52）．

如圖3，當點P與點A重合時，PB＝PE．

∴E點坐標為（1，-4），

∵PB＝PE＝EQ＝QB，∠EAB=90°，

∴Q的坐標為（5，﹣4）．

如圖4，當點P在x軸下方，且PE＝EB＝BQ＝QP時，四邊形PEBQ為菱形．

∵PE＝x﹣5﹣（﹣x2+6x﹣5）＝x2﹣5x，

BEBH（5﹣x），

∴x2﹣5x（5﹣x），

解得x1＝5（不合題意，舍去），x2．

當x時，QB＝PE＝2+5，

∴點Q的坐標為（5，﹣2﹣5）．

綜上所述，存在點Q，使以點P，E，B，Q為頂點的四邊形為菱形．此時點Q的坐標為（﹣1，0），（5，52），（5，﹣4）或（5，﹣2﹣5）．