Question

3．如圖，正方形ABCD內部有若干個點，用這些點以及正方形ABCD的頂點A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重疊）：

（1）填寫下表：

正方形ABCD內點的個數(shù)	1	2	3	4	…	n
分割成的三角形的個數(shù)	4	6			…

（2）前5個正方形分割的三角形的和40前n個正方形分割的三角形的和n²+3n，
（3）原正方形能否被分割成2 012個三角形？若能，求此時正方形ABCD內部有多少個點？若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據圖形特點找出正方形ABCD內點的個數(shù)與分割成的三角形的個數(shù)的關系，總結規(guī)律即可；
（2）將（1）中的規(guī)律寫出來即可；
（2）根據規(guī)律列出方程，解方程得到答案．

解答 解：（1）有1個點時，內部分割成4個三角形；
有2個點時，內部分割成4+2=6個三角形；
有3個點時，內部分割成4+2×2=8個三角形；
有4個點時，內部分割成4+2×3=10個三角形；     …
以此類推，有n個點時，內部分割成4+2×（n-1）=（2n+2）個三角形；

（2）前5個正方形分割的三角形的和40，前n個正方形分割的三角形的和為n²+3n，

（3）能．理由如下：由（1）知2n+2=2012，解得n=1005，
∴此時正方形ABCD內部有1005點．

點評 本題考查的是圖形的變化類問題，正確理解題意、根據圖形的特點正確找出規(guī)律是解題的關鍵．