Question

3．背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來(lái)，人們對(duì)它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．
小試牛刀：把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長(zhǎng)分別為a、b、c．顯然，
∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE．請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：

S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a（a+b），
S△ABC=$\frac{1}{2}$b（a-b），
S_{四邊形AECD}=$\frac{1}{2}$c²，
則它們滿足的關(guān)系式為$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²經(jīng)化簡(jiǎn)，可得到勾股定理．
知識(shí)運(yùn)用：
（1）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C、D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個(gè)村莊的距離為41千米（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若AB=40千米，AD=24千米，BC=16千米，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PC=PD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離．
知識(shí)遷移：借助上面的思考過(guò)程與幾何模型，求代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+9}$$+\sqrt{（16-x）^{2}+81}$的最小值（0＜x＜16）

Answer 1

分析 【小試牛刀】根據(jù)三角形的面積和梯形的面積就可表示出．
【知識(shí)運(yùn)用】（1）連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，根據(jù)AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，從而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD兩地之間的距離．
（2）連接CD，作CD的垂直平分線角AB于P，P即為所求；設(shè)AP=x千米，則BP=（40-x）千米，分別在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通過(guò)PC=PD建立方程，解方程即可．
【知識(shí)遷移】根據(jù)軸對(duì)稱-最短路線的求法即可求出．

解答 解：【小試牛刀】S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a（a+b），
S_△ABC=$\frac{1}{2}$b（a-b），
S_{四邊形AECD}=$\frac{1}{2}$c²，
則它們滿足的關(guān)系式為：$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²
故答案為：$\frac{1}{2}$a（a+b），$\frac{1}{2}$b（a-b），$\frac{1}{2}$c²，$\frac{1}{2}$a（a+b）=$\frac{1}{2}$b（a-b）+$\frac{1}{2}$c²．

【知識(shí)運(yùn)用】（1）如圖2①，連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，

∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC=AE，CE=AB，
∴DE=AD-AE=25-16=9千米，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+4{0}^{2}}$=41（千米），
∴兩個(gè)村莊相距41千米．
故答案為：41．

（2）如圖2②所示：

設(shè)AP=x千米，則BP=（40-x）千米，
在Rt△ADP中，DP²=AP²+AD²=x²+24²，
在Rt△BPC中，CP²=BP²+BC²=（40-x）²+16²，
∵PC=PD，
∴x²+24²=（40-x）²+16²，
解得x=16，
即AP=16千米．
【知識(shí)遷移】：如圖3，

代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+9}$+$\sqrt{（16-x）^{2}+81}$的最小值為：$\sqrt{（9+3）^{2}+1{6}^{2}}$=20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用數(shù)形結(jié)合來(lái)證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題以及線段的垂直平分線等，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，本題鍛煉了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的思想方法．