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        1. 15.如圖①,點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn),分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使OG=2OD,OE=2OC,以O(shè)G、OE為邊作正方形OEFG,連接AG、DE.
          (1)求證:AG=DE;
          (2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<180°)得到正方形OE′F′G′,如圖②.
          ①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,這兩個(gè)正方形重合部分的面積會(huì)發(fā)生變化嗎?證明你的結(jié)論;
          ②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)AG′=$\sqrt{3}$時(shí),求α的度數(shù).

          分析 (1)由正方形的性質(zhì)得出OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,∠OAD=∠ODA=∠OCD=45°,證出OG=OE,由SAS證明△AOG≌△DOE,得出對(duì)應(yīng)邊相等即可;
          (2)①證出∠DOM=∠CON,由ASA證明△ODM≌△OCN,得出△ODM的面積=△OCN的面積,因此四邊形OMDN的面積=△OCD的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積,即可得出結(jié)果;
          ②由正方形的性質(zhì)和勾股定理得出AC=$\sqrt{2}$AB=2,OA=1,由勾股定理的逆定理得出△AOG′是直角三角形,求出∠AG′O=30°,得出∠AOG′=60°,即可得出結(jié)果;當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置,當(dāng)AG′=$\sqrt{3}$時(shí),α=180°-30°=150°;即可得出結(jié)果.

          解答 (1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,
          ∴OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,∠OAD=∠ODA=∠OCD=45°,
          ∴∠AOG=∠DOE=90°,
          ∵OG=2OD,OE=2OC,
          ∴OG=OE,
          在△AOG和△DOE中,$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}&{\;}\\{∠AOG=∠DOE}&{\;}\\{OG=OE}&{\;}\end{array}\right.$,
          ∴△AOG≌△DOE(SAS),
          ∴AG=DE;
          (2)解:①兩個(gè)正方形重合部分的面積不變化;理由如下:
          如圖1所示:
          ∵∠AOD=∠G′OE′,
          ∴∠DOM=∠CON,
          在△ODM和△OCN中,$\left\{\begin{array}{l}{∠DOM=∠CON}&{\;}\\{OD=OC}&{\;}\\{∠ODA=∠OCD}&{\;}\end{array}\right.$,
          ∴△ODM≌△OCN(ASA),
          ∴△ODM的面積=△OCN的面積,
          ∴四邊形OMDN的面積=△OCD的面積=$\frac{1}{4}$正方形ABCD的面積,
          即兩個(gè)正方形重合部分的面積不會(huì)發(fā)生變化;
          ②當(dāng)α為銳角時(shí),如圖1所示:
          ∵四邊形ABCD是正方形,
          ∴BC=AB=$\sqrt{2}$,∠ABC=90°,OA=OD=$\frac{1}{2}$AC,
          ∴AC=$\sqrt{2}$AB=2,
          ∴OA=1,
          ∴OG′=OG=2OD=2,
          ∵OA2+AG′2=12+($\sqrt{3}$)2=4,OG′2=4,
          ∴OA2+AG′2=OG′2,
          ∴△AOG′是直角三角形,∠OAG′=90°,
          ∵OA=$\frac{1}{2}$OG′,
          ∴∠AG′O=30°,
          ∴∠AOG′=60°,
          ∴∠DOG′=90°-60°=30°,
          即α=30°;
          當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置,當(dāng)AG′=$\sqrt{3}$時(shí),α=180°-30°=150°;
          綜上所述:α的度數(shù)為30°或150°.

          點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目,考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、含30°角的直角三角形的判定等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),有一定難度,證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          17.下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片段,閱讀后,請(qǐng)回答下面的問(wèn)題:
              學(xué)習(xí)勾股定理的有關(guān)內(nèi)容后.張老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問(wèn)題:“已知直角三角形ABC的兩邊長(zhǎng)分別為6和10,請(qǐng)你求出第三邊”.
              同學(xué)們經(jīng)片刻的思考與交流后,李明同學(xué)舉手說(shuō):“第三邊長(zhǎng)是8”;王華同學(xué)說(shuō):“第三邊長(zhǎng)是2$\sqrt{34}$”.還有一些同學(xué)也提出了不同的看法…
          (1)假如你也在課堂上,你的意見如何?為什么?
          (2)通過(guò)上面數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論,你有什么感受?(用一句話表示)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          18.已知4×23m•44m=29,求m的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          3.背景介紹:勾股定理是幾何學(xué)中的明珠,充滿著魅力.千百年來(lái),人們對(duì)它的證明趨之若騖,其中有著名的數(shù)學(xué)家,也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法.
          小試牛刀:把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置,其三邊長(zhǎng)分別為a、b、c.顯然,
          ∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE.請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積,再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系,可得到勾股定理:

          S梯形ABCD=$\frac{1}{2}$a(a+b),
          S△ABC=$\frac{1}{2}$b(a-b),
          S四邊形AECD=$\frac{1}{2}$c2
          則它們滿足的關(guān)系式為$\frac{1}{2}$a(a+b)=$\frac{1}{2}$b(a-b)+$\frac{1}{2}$c2經(jīng)化簡(jiǎn),可得到勾股定理.
          知識(shí)運(yùn)用:
          (1)如圖2,鐵路上A、B兩點(diǎn)(看作直線上的兩點(diǎn))相距40千米,C、D為兩個(gè)村莊(看作兩個(gè)點(diǎn)),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分別為A、B,AD=25千米,BC=16千米,則兩個(gè)村莊的距離為41千米(直接填空);
          (2)在(1)的背景下,若AB=40千米,AD=24千米,BC=16千米,要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P,使得PC=PD,請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離.
          知識(shí)遷移:借助上面的思考過(guò)程與幾何模型,求代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}+9}$$+\sqrt{(16-x)^{2}+81}$的最小值(0<x<16)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          10.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于原點(diǎn)和點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)A落在拋物線上,且OA=2,∠AOB=60°.
          (1)則點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,$\sqrt{3}$),二次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x.
          (2)求證:△OAB為直角三角形.
          (3)如圖2:將△OAB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△O1AB1,作出△O1AB1的外接圓⊙D,B1O1所在直線交x軸于點(diǎn)E.
          ①求點(diǎn)D的坐標(biāo);
          ②已知C(0,-3),連接BC,問(wèn):直線BC與圓D是否相切,并說(shuō)明理由.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

          20.甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員在長(zhǎng)50米的游泳池兩邊同時(shí)開始相向游泳,甲游50米要36秒,乙游50米要30秒,略去轉(zhuǎn)身時(shí)間不計(jì),在6分鐘內(nèi)二人相遇11次.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

          7.如圖,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8.BC=6,點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從
          A向C運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位的速度從A→B→C方向運(yùn)動(dòng),它們到C點(diǎn)后都
          停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
          (Ⅰ)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,請(qǐng)你用t表示P、Q兩點(diǎn)間的距離,并求出P、Q兩點(diǎn)間的距離
          的最大值;
          (Ⅱ)經(jīng)過(guò)t秒的運(yùn)動(dòng),求△ABC被直線PQ掃過(guò)的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

          4.如圖,將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合,若∠AOD=145°,則∠BOC=35°.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

          5.計(jì)算(-1)2015+20140+(-1)2016( 。
          A.0B.1C.-1D.2

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