Question

已知，如圖1，拋物線y=ax²+bx過點(diǎn)A（6，3），且對稱軸為直線．點(diǎn)B為直線OA下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若△OAB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（3）如圖2，過點(diǎn)B作直線BC∥y軸，交線段OA于點(diǎn)C，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題知：解之，得，
∴該拋物線的解析式為：．

（2）過點(diǎn)B作BH∥y軸，交OA于點(diǎn)H，
由題知直線OA為：，
∴設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，∴，
∴S=S_△OBH+S_△ABH=，
=，
∴當(dāng)m=3時(shí)，；


（3）存在，點(diǎn)B為（1+，）或（5-，），
理由如下：設(shè)在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)D滿足題意，
過點(diǎn)D作DQ⊥BC于點(diǎn)Q，
則由（2）有點(diǎn)，點(diǎn)B，
∵△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形
∴，即是：且（0＜m＜6），
若，解之：（舍去），，
時(shí)，，
∴點(diǎn)B（1+，），
若，解之：（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
∴，
綜上，滿足條件的點(diǎn)B為（1+，）或（5-，）．
分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+bx過點(diǎn)A（6，3），且對稱軸為直線，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過點(diǎn)B作BH∥y軸，交OA于點(diǎn)H，將△OAB分成△OBH和△ABH兩部分求解；
（3）假設(shè)存在滿足題意的D點(diǎn)，再根據(jù)△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形這一條件解答．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的知識(shí)，是一道綜合題，難度較大，需要對各部分知識(shí)熟練掌握并靈活應(yīng)用．