Question

已知，如圖1，拋物線(xiàn)y=ax²+bx過(guò)點(diǎn)A（6，3），且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=

5

2

．點(diǎn)B為直線(xiàn)OA下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m．
（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若△OAB的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)BC∥y軸，交線(xiàn)段OA于點(diǎn)C，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)y=ax²+bx過(guò)點(diǎn)A（6，3），且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=

5

2

，利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BH∥y軸，交OA于點(diǎn)H，將△OAB分成△OBH和△ABH兩部分求解；
（3）假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的D點(diǎn)，再根據(jù)△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形這一條件解答．

解答：解：（1）由題知：

36a+6b=3 - b 2a = 5 2

解之，得

a= 1 2 b=- 5 2

，
∴該拋物線(xiàn)的解析式為：y=

1

2

x2-

5

2

x．

（2）過(guò)點(diǎn)B作BH∥y軸，交OA于點(diǎn)H，
由題知直線(xiàn)OA為：y=

1

2

x，
∴設(shè)點(diǎn)H(m，

1

2

m)，點(diǎn)B(m，

1

2

m2-

5

2

m)，∴BH=

1

2

m-(

1

2

m2-

5

2

m)=-

1

2

m2+3m，
∴S=S_△OBH+S_△ABH=

1

2

BH×6=

1

2

(-

1

2

m2+3m)×6=-

3

2

m2+9m，
=-

3

2

(m-3)2+

27

2

(0＜m＜6)，
∴當(dāng)m=3時(shí)，S最大=

27

2

；


（3）存在，點(diǎn)B為（1+

11

，

7-3 11

2

）或（5-

15

，

15-5 15

2

），
理由如下：設(shè)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸(x=

5

2

)上存在點(diǎn)D滿(mǎn)足題意，
過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥BC于點(diǎn)Q，
則由（2）有點(diǎn)C(m，

1

2

m)，點(diǎn)B(m，

1

2

m2-

5

2

m)，BC=-

1

2

m2+3m
∵△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形
∴DQ=

1

2

BC，即是：|m-

5

2

|=

1

2

(-

1

2

m2+3m)且（0＜m＜6），
若m-

5

2

=

1

2

(-

1

2

m2+3m)，解之：m1=1-

11

（舍去），m2=1+

11

，
當(dāng)m2=1+

11

時(shí)，y=

1

2

(1+

11

)2-

5

2

(1+

11

)=

7-3 11

2

，
∴點(diǎn)B（1+

11

，

7-3 11

2

），
若

5

2

-m=

1

2

(-

1

2

m2，+3m)，解之：m3=5-

15

，m4=5+

15

（舍去），
當(dāng)m3=5-

15

時(shí)，y=

1

2

(5-

15

)2-

5

2

(5-

15

)=

15-5 15

2

，
∴點(diǎn)B為(5-

15

，

15-5 15

2

)，
綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)B為（1+

11

，

7-3 11

2

）或（5-

15

，

15-5 15

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的知識(shí)，是一道綜合題，難度較大，需要對(duì)各部分知識(shí)熟練掌握并靈活應(yīng)用．