Question

（2012•鄂州）已知：如圖一，拋物線y=ax²+bx+c與x軸正半軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y=x-2經(jīng)過A、C兩點，且AB=2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若直線DE平行于x軸并從C點開始以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E，D，同時動點P從點B出發(fā)，沿BO方向以每秒2個單位速度運動，（如圖2）；當(dāng)點P運動到原點O時，直線DE與點P都停止運動，連DP，若點P運動時間為t秒；設(shè)s=

ED+OP

ED•OP

，當(dāng)t為何值時，s有最小值，并求出最小值．
（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似；若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)直線AC的解析式確定點A、C的坐標(biāo)，已知AB的長，進一步能得到點B的坐標(biāo)；然后由待定系數(shù)法確定拋物線的解析式．
（2）根據(jù)所給的s表達式，要解答該題就必須知道ED、OP的長；BP、CE長易知，那么由OP=OB-BP求得OP長，由∠CED的三角函數(shù)值可得到ED的長，再代入s的表達式中可得到關(guān)于s、t的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得到s的最小值．
（3）首先求出BP、BD的長，若以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，已知的條件是公共角∠OBC，那么必須滿足的條件是夾公共角的兩組對應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論即可．

解答：解：（1）由直線：y=x-2知：A（2，0）、C（0，-2）；
∵AB=2，∴OB=OA+AB=4，即 B（4，0）．
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）（x-4），代入C（0，-2），得：
a（0-2）（0-4）=-2，解得 a=-

1

4

∴拋物線的解析式：y=-

1

4

（x-2）（x-4）=-

1

4

x²+

3

2

x-2．

（2）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則 tan∠OCB=2；
∵CE=t，∴DE=2t；
而 OP=OB-BP=4-2t；
∴s=

ED+OP

ED•OP

=

2t+4-2t

2t•(4-2t)

=

1

-(t-1)2+1

（0＜t＜2），
∴當(dāng)t=1時，s有最小值，且最小值為 1．

（3）在Rt△OBC中，OB=4，OC=2，則 BC=2

5

；
在Rt△CED中，CE=t，ED=2t，則 CD=

5

t；
∴BD=BC-CD=2

5

-

5

t；
以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似，已知∠OBC=∠PBD，則有兩種情況：
①

BP

BC

=

BD

AB

?

2t

2 5

=

2 5 - 5 t

2

，解得 t=

10

7

；
②

BP

AB

=

BD

BC

?

2t

2

=

2 5 - 5 t

2 5

，解得 t=

2

3

；
綜上，當(dāng)t=

2

3

或

10

7

時，以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：該題主要考查了函數(shù)解析式的確定以及相似三角形的判定和性質(zhì)等重點知識；（2）題得到的函數(shù)與平常所見的二次函數(shù)有所不同，但只要把握住分式以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可正確解出答案；（3）題中需要注意的是相似三角形的對應(yīng)邊并沒有明確，需要進行分類討論．