Question

（2013•大安市模擬）已知：如圖1，拋物線y=-x²+bx+c的頂點(diǎn)為Q，與x軸交于A（-1，0）、B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）在該拋物線的對稱軸上求一點(diǎn)P，使得△PAC的周長最小．請在圖中畫出點(diǎn)P的位置，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)D是第一象限拋物線上的一個動點(diǎn)，過D作DE⊥x軸，垂足為E．
①有一個同學(xué)說：“在第一象限拋物線上的所有點(diǎn)中，拋物線的頂點(diǎn)Q與x軸相距最遠(yuǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動至點(diǎn)Q時，折線D-E-O的長度最長”．這個同學(xué)的說法正確嗎？請說明理由．
②若DE與直線BC交于點(diǎn)F．試探究：四邊形DCEB能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請簡要說明理由；

Answer 1

分析：（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=-x²+bx+c中即可確定b、c的值，然后配方后即可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接BC，交對稱軸于點(diǎn)P，連接AP、AC．求得C點(diǎn)的坐標(biāo)后然后確定直線BC的解析式，最后求得其與x=1與直線BC的交點(diǎn)坐標(biāo)即為點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）①設(shè)D（t，-t²+4t+5），設(shè)折線D-E-O的長度為L，求得L的最大值后與當(dāng)點(diǎn)D與Q重合時L=9+2=11＜

45

4

相比較即可得到答案；
②假設(shè)四邊形DCEB為平行四邊形，則可得到EF=DF，CF=BF．然后根據(jù)DE∥y軸求得DF，得到DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，從而否定是平行四邊形．

解答：解：（1）將A（-1，0）、B（5，0）分別代入y=-x²+bx+c中，
得

0=-1-b+c 0=-25+5b+c

，得

b=4 c=5

∴y=-x²+4x+5．
∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，∴Q（2，9）．
（2）如圖1，連接BC，交對稱軸于點(diǎn)P，連接AP、AC．
∵AC長為定值，∴要使△PAC的周長最小，只需PA+PC最�。�
∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是點(diǎn)B（5，0），拋物線y=-x²+4x+5與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5）．
∴由幾何知識可知，PA+PC=PB+PC為最�。�
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+5，將B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，
∴y=-x+5，∴當(dāng)x=2時，y=3，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）．
（3）①這個同學(xué)的說法不正確．
∵設(shè)D（t，-t²+4t+5），設(shè)折線D-E-O的長度為L，則L=-t2+4t+5+t=-t2+5t+5=-(t-

5

2

)2+

45

4

，
∵a＜0，∴當(dāng)t=

5

2

時，L最大值=

45

4

．
而當(dāng)點(diǎn)D與Q重合時，L=9+2=11＜

45

4

，
∴該該同學(xué)的說法不正確．
②四邊形DCEB不能為平行四邊形．
如圖2，若四邊形DCEB為平行四邊形，則EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y軸，∴

OE

EB

=

CF

BF

=1，即OE=BE=2.5．
當(dāng)x_F=2.5時，y_F=-2.5+5=2.5，即EF=2.5；
當(dāng)x_D=2.5時，yD=-(2.5-2)2+9=8.75，即DE=8.75．
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25＞2.5．即DF＞EF，這與EF=DF相矛盾，
∴四邊形DCEB不能為平行四邊形．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)的確定方法及有關(guān)的幾何知識．在求有關(guān)動點(diǎn)問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．