Question

5．如圖所示，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B出發(fā)，分別在AB、BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t （s），解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？
（2）當(dāng)t何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的判定得：BP=BQ，列等式可得t的值；
（2）分兩種情況：①如圖2，當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，BP=2BQ，則6-t=2×2t，②如圖3，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，BQ=2BP，則2t=2（6-t），分別求出t的值．

解答 解：（1）由題意得：AP=t，BQ=2t，則BP=6-t，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
當(dāng)BP=BQ時(shí)，△PBQ是等邊三角形，如圖1，
則6-t=2t，
t=2，
∴當(dāng)t=2時(shí)，△PBQ為等邊三角形；
（2）分兩種情況：
①如圖2，當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ，
則6-t=2×2t，
t=$\frac{6}{5}$，
②如圖3，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，
2t=2（6-t），
t=3，
由題意得：0≤t≤3，
∴當(dāng)t=$\frac{6}{5}$或3時(shí)，△PBQ為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定、30°角的直角三角形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定，要注意直角三角形分情況討論．