Question

12．如圖，已知直線y=$\frac{1}{2}$x-1與雙曲線y=$\frac{k}{x}$相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別相交于C，D兩點(diǎn)，已知AD=BC=2CD．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及k的值；
（2）請(qǐng)寫出關(guān)于x的不等式$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$x+1＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）令一次函數(shù)解析式中y=0求出x值，即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，作AE⊥x軸于E，作BF⊥x軸于F，則∠AEO=∠DOC=∠BFO=90°，進(jìn)而得出AE∥OD∥BF，根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合AD=BC=2CD即可得出OE、OF的長(zhǎng)度，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出k值；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可得出不等式$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$x+1＞0的解集．

解答 解：（1）當(dāng)y=$\frac{1}{2}$x-1=0時(shí)，x=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），
∴OC=2．
作AE⊥x軸于E，作BF⊥x軸于F，如圖所示．
則∠AEO=∠DOC=∠BFO=90°，
∴AE∥OD∥BF，
∴$\frac{OE}{OC}=\frac{AD}{CD}$，$\frac{CF}{OC}=\frac{BC}{CD}$，
∵AD=BC=2CD，
∴OE=CF=2OC=4，OF=OC+CF=6，
∴E（-4，0），F(xiàn)（6，0）．
當(dāng)x=-4時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x-1=-3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，-3）；
當(dāng)x=6時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x-1=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，2）．
∵點(diǎn)A、B在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=6×2=12．
（2）觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜-4或0＜x＜6時(shí)，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方，
∴不等式$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$x+1＞0的解集為x＜-4或0＜x＜6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、平行線的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)平行線的性質(zhì)找出OD、OF的值是解題的關(guān)鍵．