Question

18．圖形在折疊過(guò)程中會(huì)形成相等的邊和相等的角，下面是同學(xué)們?cè)跀?shù)學(xué)課上所做的三角形、四邊形折疊實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)根據(jù)實(shí)驗(yàn)過(guò)程解決問(wèn)題：
問(wèn)題（一）
如圖①，一張三角形ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)．
研究（1）：如果沿直線DE折疊，使A點(diǎn)落在CE上，則∠BDA′和∠A的數(shù)量關(guān)系是∠BDA=2∠A；
研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數(shù)量關(guān)系是∠BDA′+∠CEA′=2∠A；
研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
問(wèn)題（二）
研究（4）：將問(wèn)題（一）推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時(shí)，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．（直接寫出結(jié)論）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及折疊的特點(diǎn)即可得到結(jié)論；
（2）連接AA′，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）連接AA′構(gòu)造等腰三角形，然后結(jié)合三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行探討證明；
（4）根據(jù)平角的定義以及四邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行探討．

解答 解：（1）∵根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DA′E=∠A，∠DA′E+∠A=∠BDA′，
′∴∠BDA=2∠A．
故答案為：∠BDA=2∠A；

（2）由圖形折疊的性質(zhì)可知，∠CEA′=180°-2∠DEA′…①，∠BDA′=180°-2∠A′DE…②，
①+②得，∠BDA′+∠CEA′=360°-2（∠DEA′+∠A′DE
即∠BDA′+∠CEA′=360°-2（180°-∠A），
故∠BDA′+∠CEA′=2∠A．
故答案為：∠BDA′+∠CEA′=2∠A；

（3）∠BDA′-∠CEA′=2∠A．
證明如下：
連接AA′構(gòu)造等腰三角形，
∠BDA′=2∠DA'A，∠CEA'=2∠EA'A，
得∠BDA'-∠CEA'=2∠A，

（4）如圖④，由圖形折疊的性質(zhì)可知∠1=180°-2∠AEF，∠2=180°-2∠BFE，
兩式相加得，∠1+∠2=360°-2（∠AEF+∠BFE）
即∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B），
所以，∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．
故答案為：∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是翻折變換，注意此類一題多變的題型，基本思路是相同的，主要運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理及其推論進(jìn)行證明．