Question

20．若一個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字左右對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)這樣的自然數(shù)是對(duì)稱(chēng)數(shù)，如22，989，5665，12321…，都是對(duì)稱(chēng)數(shù)．
若一個(gè)自然數(shù)從左到右各數(shù)位上的數(shù)字和另一個(gè)自然數(shù)從右到左各數(shù)位上的數(shù)字完全相同，則稱(chēng)這兩個(gè)自然數(shù)互為逆序數(shù)．例如：17與71，132與231，5678與8765，…，都互為逆序數(shù)．
有一種產(chǎn)生對(duì)稱(chēng)數(shù)的方式是：將某些自然數(shù)與它的逆序數(shù)相加，得出的和再與這個(gè)和的逆序數(shù)相加，連續(xù)進(jìn)行下去…，便可以得到一個(gè)對(duì)稱(chēng)數(shù)．例如：17的逆序數(shù)為71，17+71=88，88是一個(gè)對(duì)稱(chēng)數(shù)；39的逆序數(shù)為93，39+93=132，132的逆序數(shù)為231，132+231=363，363是一個(gè)對(duì)稱(chēng)數(shù)．請(qǐng)你根據(jù)以上材料，求以687產(chǎn)生的第一個(gè)對(duì)稱(chēng)數(shù)；
（1）猜想任意一個(gè)三位數(shù)與其逆序數(shù)之差能否被99整除？并說(shuō)明理由．
（2）若兩位自然數(shù)A按上述方式的第一個(gè)對(duì)稱(chēng)數(shù)是484，A的十位上的數(shù)字大于個(gè)位上的數(shù)字，求A的值．

Answer 1

分析 寫(xiě)出687的逆序數(shù)，求出它與原數(shù)的和，再寫(xiě)出它們和的逆序數(shù)，再求和直到得到對(duì)稱(chēng)數(shù)；
（1）任意三位數(shù)，可設(shè)百位上的數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，個(gè)位上的數(shù)字為c，表示出該三位數(shù)，再寫(xiě)出其逆序數(shù)，計(jì)算它們的差，整理后若是99的倍數(shù)，則能被99整除，否則就不能被99整除．
（2）由484先推理得出A與其逆序數(shù)的和，再得到兩位自然數(shù)A的值．

解答 解：687的逆序數(shù)是786，所以687+786=1473，
1473的逆序數(shù)是3741，所以1473+3741=5214，
5214的逆序數(shù)是4125，所以5214+4125=9339．
以687產(chǎn)生的第一個(gè)對(duì)稱(chēng)數(shù)是9339．
（1）能被99整除．理由：
若一個(gè)三位數(shù)，百位上的數(shù)字為a，十位上的數(shù)字為b，個(gè)位上的數(shù)字為c，
則這個(gè)三位數(shù)是100a+10b+c，其逆序數(shù)為100c+10b+a
所以100a+10b+c-100c-10b-a
=99a-99c
=99（a-c）
由于a、c都是整數(shù)，所以99（a-c）一定能被99整除，
即任意一個(gè)三位數(shù)與其逆序數(shù)之差能被99整除．
（2）因?yàn)閮晌粩?shù)與其逆序數(shù)相加小于484，
所以484應(yīng)該是一個(gè)三位數(shù)與其逆序數(shù)相加而得．
設(shè)這個(gè)三位數(shù)為（abc），則它的逆序數(shù)為（cba）
由于a+c=4，2b=8，
所以A與其逆序數(shù)的和為143或242（不是兩個(gè)數(shù)的和故舍去）
設(shè)兩位自然數(shù)A為10m+n，則其逆序數(shù)為10n+m
所以10m+n+10n+m=143，
即11（m+n）=143，
所以m+n=13．
又因?yàn)閙＞n
所以m=7，8，9；n=6，5，4
所以?xún)晌蛔匀粩?shù)A為76或85或94．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了因式分解的應(yīng)用及新定義的逆序數(shù)和對(duì)稱(chēng)數(shù)，理解新定義知道對(duì)稱(chēng)數(shù)的得到辦法是解決本題的關(guān)鍵．