Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8，半徑為$\sqrt{3}$的⊙M與射線BA相切，切點(diǎn)為N，且AN=3，將Rt△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤180°）
（1）當(dāng)α為60°或120°時(shí)，AC和⊙M相切；
（2）當(dāng)AC落在AN上時(shí)，設(shè)點(diǎn)B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E．
①畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△ADE；（草圖即可）
②Rt△ADE的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長為2$\sqrt{2}$；
③判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)M與AC的距離為x，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)邊AC與⊙M有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出x的取值．

Answer 1

分析 （1）先利用切線的性質(zhì)得出∠GAN=2∠MAN，再求出∠MAN，即可得出結(jié)論；
（2）①把三角形ABC繞A旋轉(zhuǎn)120°就能得到圖形．
②連接MQ，過M點(diǎn)作MF⊥DE，由AN=3，AC=4，求出NE的長；在Rt△MFQ中，利用勾股定理可求出QF，根據(jù)垂徑定理知QF就是弧長PQ的一半．
③過M作AD的垂線設(shè)垂足為H，然后證MH與⊙M半徑的大小關(guān)系即可；連接AM、MN，由于AE是⊙M的切線，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通過解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可證得AM是∠DAE的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到MH=MN，由此可證得⊙M與AD相切；
（3）分兩種情況AC與⊙M相切或旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C在⊙M內(nèi)部，利用勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，

旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置時(shí)，AC'與⊙M相切于G，
連接MG，
∴∠AGM=90°，
∵AN與⊙M相切于N，
∴∠ANM=90°，
連接AM，
∴∠GAN=2∠MAN，在
Rt△AMN中，MN=$\sqrt{3}$，AN=3，
∴tan∠MAN=$\frac{MN}{AN}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴∠MAN=30°，
∴∠GAN=60°，
∵∠BAC=60°，
∴α=∠CAC'=180°-60°-60°=60°；
∵AN于⊙M相切，所以α=120°
故答案為：60°或120°，
（2）①如圖Rt△ADE就是要畫的圖形，

②連接MQ，過M點(diǎn)作MF⊥DE，垂足為F，由Rt△ABC可知，
AC=$\frac{1}{2}$AB，
根據(jù)翻折變換的知識得到AC=AE=4，
NE=AE-AN=4-3=1，
在Rt△MFQ中，解得FQ=$\sqrt{2}$，故弦PQ的長度2$\sqrt{2}$．
故答案為：2$\sqrt{2}$
③AD與⊙M相切．
證明：過點(diǎn)M作MH⊥AD于H，連接MN，MA，則MN⊥AE，且MN=$\sqrt{3}$，
在Rt△AMN中，tan∠MAN=$\frac{MN}{AN}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠MAN=30°，
∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠MAN=∠MAD=30°，
∴MH=MN，
∴AD與⊙M相切，
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8，
∴AC=4，
在Rt△AMN中，MN=$\sqrt{3}$，AN=3，
∴AM=2$\sqrt{3}$，
∴⊙M上的點(diǎn)到點(diǎn)A的最大距離為2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$＞4，
∵邊AC與⊙M有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴AC和⊙M相切或點(diǎn)C在⊙M內(nèi)，
①AC與⊙M相切時(shí)，x是⊙M的半徑，
∴x=$\sqrt{3}$，
②當(dāng)點(diǎn)C剛好落在⊙M上時(shí)，
如圖3，連接C'M，AM，過點(diǎn)M作MG⊥AC'，
在Rt△C'MG中，GM²=C'M²-C'G²，
∵AC'=AG+C'G=4，
∴GM²=C'M²-（4-AG）²，
在Rt△AMG中，GM²=AM²-AG²，
∴C'M²-（4-AG）²=AM²-AG²，
∴（$\sqrt{3}$^）2-（4-AG）²=（2$\sqrt{3}$）²-AG²，
∴AG=$\frac{25}{8}$，
∴x=MG=$\sqrt{12-（\frac{25}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{143}}{8}$，
∴0≤x＜$\frac{\sqrt{143}}{8}$或x=$\sqrt{3}$；

點(diǎn)評 此題是圓的綜合題，主要考查了圓的切線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是畫出圖形，難點(diǎn)是確定出x的范圍，是一道難度比較大的中考�？碱}．