Question

已知：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB的垂直平分線交AB于E，AC于D，交BC的延長線于F．
求：（1）CD的長；（2）CF的長．

Answer 1

解：（1）∵AB的垂直平分線交AB于E，
∴AD=BD，
設(shè)CD=x，
∵AC=4，∴AD=（4-x），即BD=4-x，
又∵BC=3，
∴根據(jù)勾股定理，得BD²=DC²+BC²，
即（4-x）²=x²+3²，
16+x²-8x=x²+9，
-8x=-7，
x=．
故CD=．

（2）∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE，AD=BD，
∵直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB===5，
∴AE=BE==2.5，
由（1）知CD=，∴AD=4-=，
∵AD=BD，∴BD=，
根據(jù)勾股定理，得DE===，
在Rt△FCD與Rt△AED中，∵∠ADE=∠CDF，
∴Rt△FCD∽Rt△AED，=，即=，解得，CF=．
分析：（1）因為EF垂直平分AB，可得AD=BD，設(shè)出CD的長，在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理解答；
（2）先根據(jù)勾股定理求出DE的長，再求出Rt△FCD與Rt△AED，根據(jù)相似三角形的相似比解答即可．
點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．