Question

已知：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB的垂直平分線交AB于E，AC于D，交BC的延長線于F．
求：（1）CD的長；（2）CF的長．

Answer 1

分析：（1）因為EF垂直平分AB，可得AD=BD，設出CD的長，在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理解答；
（2）先根據(jù)勾股定理求出DE的長，再求出Rt△FCD與Rt△AED，根據(jù)相似三角形的相似比解答即可．

解答：解：（1）∵AB的垂直平分線交AB于E，
∴AD=BD，
設CD=x，
∵AC=4，∴AD=（4-x），即BD=4-x，
又∵BC=3，
∴根據(jù)勾股定理，得BD²=DC²+BC²，
即（4-x）²=x²+3²，
16+x²-8x=x²+9，
-8x=-7，
x=

7

8

．
故CD=

7

8

．

（2）∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AE=BE，AD=BD，
∵直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=

AC2+BC2

=

42+32

=5，
∴AE=BE=

AB

2

=2.5，
由（1）知CD=

7

8

，∴AD=4-

7

8

=

25

8

，
∵AD=BD，∴BD=

25

8

，
根據(jù)勾股定理，得DE=

BD2-BE2

=

( 25 8 )2-2.52

=

15

8

，
在Rt△FCD與Rt△AED中，∵∠ADE=∠CDF，
∴Rt△FCD∽Rt△AED，

FC

AE

=

CD

DE

，即

FC

2.5

=

7 8

15 8

，解得，CF=

7

6

．

點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質相似三角形的性質等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．