Question

已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，3），點(diǎn)D是正比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)Q，DC、DQ分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)F和點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，AB交正比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9時(shí)，求：點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)點(diǎn)D在線段OP的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想AE與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

（1）設(shè)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=k₁x，y=

k2

x

，把P（2，3）分別代入得k₁=

3

2

，k₂=6，
∴正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式分別為y=

3

2

x，y=

6

x

，
又∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9，
∴對(duì)于y=

3

2

x，令y=9，得9=

3

2

x，解得x=6，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（6，9），
∵DC⊥x軸，DQ⊥y軸，
∴A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為6，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)F在反比例y=

6

x

的圖象上，
∴把y=9代入y=

6

x

得x=

2

3

，把x=6代入y=

6

x

得y=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

3

，9），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），
又∵AB⊥x軸，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為

2

3

，
而點(diǎn)E在直線y=

3

2

x上，把x=

2

3

代入y=

3

2

x得y=1，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（

2

3

，1）；

（2）AE與DF相等．理由如下：
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

3

2

a），
則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

3

2

a，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為a，
把y=

3

2

a代入y=

6

x

得x=

4

a

，把x=a代入y=

6

x

得y=

6

a

，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

a

，

3

2

a），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

6

a

），
∴DF=

3

2

a-

6

a

；
又∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，即點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為

4

a

，
而點(diǎn)E在直線y=

3

2

x上，把x=

4

a

代入y=

3

2

x得y=

6

a

，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

a

，

6

a

）
∴AE=

3

2

a-

6

a

，
∴AE=DF．