Question

如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，2)，反比例函數(shù)y＝(0<m<2)的圖象與AB交于點(diǎn)E，與BC交于點(diǎn)F，連接OE、OF、EF．

(1)若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則m＝ ，S△OEF＝ ；

(2)若S△OEF＝2S△BEF，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)是否存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得△MFE與△BFE全等?若存在，寫出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

 

Answer 1

（1）m=1；S△OEF= ；

(2)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，）

（3）存在；E點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ）

【解析】

試題分析：（1）先得到E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得到k=1，再利用F的縱坐標(biāo)為2可確定F點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，2），則可根據(jù)S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△BEF進(jìn)行計(jì)算；

（2）由題意，E（1，m)，F(xiàn)(,2),可表示出△BEF的面積,進(jìn)而可表示出△OEF與△BEF的面積之和,從而可得到m的值，進(jìn)而得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；

作EH⊥y軸于C，如圖，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），則F（ ，2），：

由于m＜2，則由△MFE≌△BFE得到MF=BF=1-m

ME=BE=2-m，∠FME=90°，易證得Rt△CFM∽R(shí)t△HME，利用相似比可得到MH=m，然后在Rt△MHM中，根據(jù)勾股定理得12+m2=（2-km）2，解得m= ，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）

試題解析：（1）∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AB⊥X軸，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

∵點(diǎn)E在函數(shù)為y=上，

∴1=，

∴m=1

把y=2代入y=得 =2，解得x=，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，2），

∴S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△BEF

=1×2-×1×1 -× ×2-× × 1

= ；

(2)根據(jù)題意，E（1，m)，F(xiàn)(,2)

∴S△BEF=，

∵S△OAE=S△OCF=

∴S△BEF+S△OEF=2-m，

∵S△OEF=2S△BEF，

∴S△BEF=，

∴=，

解得，m=2（舍去）,或m=

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，）

（3）作EH⊥y軸于C，如圖，

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），則F（，2），

當(dāng)m＜2時(shí)，

∵△MFE≌△BFE，

∴MF=BF=1- ，ME=BE=2-m，∠FME=90°，

∴Rt△CFM∽R(shí)t△HME，

∴MF：ME=CF：MH，

∴MH==m，

在Rt△MHM中，HE=1，

∴HE2+MH2=ME2，

∴12+m2=（2-m）2，解得m= ，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（1， ）

考點(diǎn)：1、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；2、三角形全等的性質(zhì)和矩形性質(zhì)；3、勾股定理；4、相似比