Question

【題目】如圖，直線l：y＝3x﹣3分別與x軸，y軸交于點A，點B，拋物線y＝ax2﹣2ax+a﹣4過點B．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點C是第四象限拋物線上一動點，連接AC，BC．

①當△ABC的面積最大時，求點C的坐標及△ABC面積的最大值；

②在①的條件下，將直線l繞著點A逆時針方向旋轉到直線l'，l'與線段BC交于點D，設點B，點C到l'的距離分別為d1和d2，當d1+d2最大時，求直線l旋轉的角度．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①點C的坐標為（），△ABC面積的最大值為；②直線l旋轉的角度是45°

【解析】

（1）利用直線l的解析式求出B點坐標，再把B點坐標代入二次函數解析式即可求出a的值，則拋物線的解析式的解析式可求出；
（2）①設C的坐標為（m，m2-2m-3），然后根據面積關系S△ABC=S四邊形OACB-S△AOB可求出△ABC的面積，由二次函數的性質可求出△ABC面積的最大值及此時點C的坐標；
②如圖2，過點B作BN垂直于l′于N點，過點C作CM垂直于l′于M點，則BN=d1，CM=d2，可將求d1+d2最大值轉化為求AD的最小值．

（1）令x=0代入y=3x-3，
∴y=-3，
∴B（0，-3），
把B（0，-3）代入y=ax2-2ax+a-4，
∴-3=a-4，
∴a=1，
∴二次函數解析式為：y=x2-2x-3；

（2）如圖1，連結OC，

令y=0代入y=3x-3，
∴0=3x-3，
∴x=1，
∴A的坐標為（1，0），
由題意知：C的坐標為（m，m2-2m-3），
S△ABC=S四邊形OACB-S△AOB
=S△OBC+S△OAC-S△AOB
=，
∴當m=時，S取得最大值，
當m=時，m2-2m-3=53＝，
∴點C的坐標為（），△ABC面積的最大值為；
（3）如圖2，過點B作BN垂直于l′于N點，過點C作CM垂直于l′于M點，直線l'交BC于點D，則BN=d1，CM=d2，

∵S△ABC=×AD×（d1+d2）
當d1+d2取得最大值時，AD應該取得最小值，當AD⊥BC時取得最小值．
根據B（0，-3）和C（）可得BC= ，
∵S△ABC= ，
∴AD=，
當AD⊥BC時，cos∠BAD= ，
∴∠BAD=45°．
即直線l旋轉的角度是45°．