Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O ，AD、BC的延長線相交于點E，AB、DC的延長線相交于點F.

(1)若∠E=500, ∠F=400，求∠A的度數(shù).

(2)探究∠E、∠F、∠A的關系并證明.

Answer 1

【答案】（1）45° ；（2）∠E+∠F+2∠A=180 °

【解析】

（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補，圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于與它的內(nèi)對角，和三角形外角的性質(zhì)列式求解即可；

（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補，圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于與它的內(nèi)對角，和三角形外角的性質(zhì)列式化簡求解即可；

（1）∵∠CDE是△ADF的外角；

∴∠CDE=∠A+∠F，

∵∠F=40°，

∴∠CDE=∠A+40°，

∵∠CDE=∠ABE,

∴∠ABE=∠A+40°，

同理可證：∠ADF=∠A+∠E，

∵∠E=50°,

∴∠ADF=∠A+50°,

∵∠ABE+∠ADF=180°，

∴∠A+40°+∠A+50°=180°.

∴2∠A=180 °-90°=90°。

∴∠A=45°.

（2）∠E+∠F+2∠A=180 °理由如下：

∵∠CDE是△ADF的外角；

∴∠CDE=∠A+∠F，

∵∠CDE=∠ABE,

∴∠ABE=∠A+∠F，

同理可證：∠ADF=∠A+∠E，

∵∠ABE+∠ADF=180°，

∴∠A+∠F+∠A+∠E=180°.

∴∠E+∠F+2∠A=180 °