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如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動點P從點C出發(fā)沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發(fā)沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）求AD的長；
（2）設CP=x，問當x為何值時△PDQ的面積達到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M，并求出BM的長；不存在，請說明理由．

如圖①，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=9，∠C=60°．
（1）求AD的長；
（2）若動點P從點C出發(fā)沿CD方向向終點D運動（如圖②），在P點運動的過程中，△ABP的面積改變了嗎？若改變，請說明理由；若沒有改變，那么△ABP的面積為；
（3）在（2）的條件下，過B作BH⊥AP于H（如圖③），若BH=2

2

，則AP=；
（4）在（2）的條件下，若動點Q同時以相同速度從點D出發(fā)沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，過點Q作QM∥CD交BC于M（如圖④），探究：四邊形PDQM可能為菱形嗎？若可能，請求出BM的長；若不可能，請說明理由．