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（理）定義：若存在常數(shù)k，使得對定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)x₁，x₂，均有：|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨（Lipschitz）條件．
（1）試舉出一個(gè)滿足利普希茨（Lipschitz）條件的函數(shù)及常數(shù)k的值，并加以驗(yàn)證；
（2）若函數(shù)f(x)=

x+1

在[1，+∞)上滿足利普希茨（Lipschitz）條件，求常數(shù)k的最小值；
（3）現(xiàn)有函數(shù)f（x）=sinx，請找出所有的一次函數(shù)g（x），使得下列條件同時(shí)成立：
①函數(shù)g（x）滿足利普希茨（Lipschitz）條件；
②方程g（x）=0的根t也是方程f(

3π

4

)=

2

sin(

3π

2

-

π

4

)=-

2

cos

π

4

=-1；
③方程f（g（x））=g（f（x））在區(qū)間[0，2π）上有且僅有一解．

（理）如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的對應(yīng)過程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖①；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖②；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3．圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m對應(yīng)n，記作f（m）=n．給出下列結(jié)論：

（1）方程f（x）=0的解是x=

1

2

； 
（2）f(

1

4

)=1； 
（3）f（x）是奇函數(shù)；
（4）f（x）在定義域上單調(diào)遞增；   
（5）f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，0)對稱．
上述說法中正確命題的序號(hào)是（填出所有正確命題的序號(hào)）

（理）已知函數(shù)f（x）=log_a

x-1

x+1

（其中a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函數(shù)．
（1）已知關(guān)于x的方程log_a

m

(x+1)(7-x)

=f（x）在區(qū)間[2，6]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)o＜a＜1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的奇偶性和增減性；
（3）設(shè)a=

1

1+p

，其中p≥1．記b_n=g（n），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為T_n（n∈N^*），求證：n＜T_n＜n+4．