Question

（理）如圖展示了一個(gè)由區(qū)間（0，1）到實(shí)數(shù)集R的對(duì)應(yīng)過程：區(qū)間（0，1）中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖①；將線段AB圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖②；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3．圖③中直線AM與x軸交于點(diǎn)N（n，0），則m對(duì)應(yīng)n，記作f（m）=n．給出下列結(jié)論：

（1）方程f（x）=0的解是x=

1

2

； 
（2）f(

1

4

)=1； 
（3）f（x）是奇函數(shù)；
（4）f（x）在定義域上單調(diào)遞增；   
（5）f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，0)對(duì)稱．
上述說法中正確命題的序號(hào)是

（1）（4）（5）

（填出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：由題中對(duì)映射運(yùn)算描述，對(duì)四個(gè)命題逐一判斷其真?zhèn)危?BR>（1）m=

1

2

此時(shí)M恰好處在與A相對(duì)的y軸上，易得N與O重合，
（2）先利用f（

1

4

）=-1，判斷出（2）錯(cuò)，
（3）在有實(shí)數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，知（3）錯(cuò)
（4）可由圖3，由M的運(yùn)動(dòng)規(guī)律觀察出函數(shù)值的變化，得出單調(diào)性，
（5）可由圖3中圓關(guān)于Y軸的對(duì)稱判斷出正誤

解答：解：由題意
（1）是正確命題，因?yàn)楫?dāng)m=

1

2

此時(shí)M恰好處在與A相對(duì)的y軸上，此時(shí)N與O重合，故有f（m）=0，即 f(

1

2

)=0；
（2）如圖，因?yàn)樵谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于①當(dāng)=

1

4

時(shí)．的坐標(biāo)為（-

1

2π

，1-

1

2π

），直線AM的方程為所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1，0），故f（

1

4

）=-1，即（2）錯(cuò)
（3）對(duì)于（3），因?yàn)閷?shí)數(shù)m所在區(qū)間（0，1）不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）不存在奇偶性．故（3）錯(cuò)．
（4）是正確命題，由圖3可以看出，m由0增大到1時(shí)，M由A運(yùn)動(dòng)到B，此時(shí)N由x的負(fù)半軸向正半軸運(yùn)動(dòng)，由此知，N點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸變大，故f（x）在定義域上單調(diào)遞增是正確的；
（5）是正確命題，由圖3可以看出，當(dāng)M點(diǎn)的位置離中間位置相等時(shí)，N點(diǎn)關(guān)于Y軸對(duì)稱，即此時(shí)函數(shù)值互為相反數(shù)，故可知f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn) (

1

2

，0)對(duì)稱
綜上知，（1）（4）（5）是正確命題，
故答案為：（1）（4）（5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了在新定義的條件下解決函數(shù)問題，是一道很好的題．關(guān)于新定義型的題，關(guān)鍵是理解定義，并會(huì)用定義來解題，解答本題關(guān)鍵是理解題設(shè)中所給的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正確認(rèn)識(shí)三個(gè)圖象的意義，由此對(duì)四個(gè)命題的正誤作出判斷，本題題型新穎，寓數(shù)于形，是一個(gè)考查理解能力的題，對(duì)題設(shè)中所給的關(guān)系進(jìn)行探究，方可得出正確答案，本題易因?yàn)槔斫獠涣祟}意而導(dǎo)致無法下手，較抽象，難．