Question

（理）已知函數(shù)f(x)=

ln(2-x2)

|x+2|-2

．
（1）試判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（2）求證：f（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減；
（3）如圖給出的是與函數(shù)f（x）相關(guān)的一個(gè)程序框圖，試構(gòu)造一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列
{a_n}，使得該程序能正常運(yùn)行且輸出的結(jié)果恰好為0．請(qǐng)說(shuō)明你的理由．
（文）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上．
（1）求證：F＜0；
（2）若四邊形ABCD的面積為8，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為2，且

AB

•

AD

=0，求D²+E²-4F的值；
（3）設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點(diǎn)為G，OH⊥AB且垂足為H．試用平面解析幾何的研究方法判
斷點(diǎn)O、G、H是否共線，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：理科（1）先求出函數(shù)的定義域，得到定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在檢驗(yàn)-x與x的函數(shù)值之間的關(guān)系，得到奇函數(shù)．
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)出已知大小關(guān)系的任意兩個(gè)變量，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數(shù)列{a_n}要滿足條件，則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列{a_n}，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，只需等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0．
文科（1）發(fā)現(xiàn)A、C兩點(diǎn)分別在x軸正負(fù)半軸上．設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（a，0），C（c，0），則有ac＜0．對(duì)于圓方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，當(dāng)y=0時(shí)，可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，于是有x_Ax_C=ac=F，得到故F＜0．
（2）寫出對(duì)角線互相垂直的四邊形ABCD面積，根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0，整理出角是一個(gè)直角，根據(jù)圓的方程寫出結(jié)果．
（3）設(shè)出和寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)y=0時(shí)可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，于是有x_Ax_C=ac=F．同理，當(dāng)x=0時(shí)，可得y²+Ey+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)B和點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，于是有y_By_D=bd=F．得到結(jié)果．

解答：解：（1）由

2-x2＞0 |x+2|-2≠0

得x∈(-

2

，0)∪(0，

2

)，
則f(x)=

ln(2-x2)

x

，任取x∈(-

2

，0)∪(0，

2

)，
都有f（-x）=-

ln(2-x2)

x

=-f（x），則該函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）任取0＜x₁＜x₂＜1，
則有0＜x₁²＜x₂²＜1?2-x₁²＞2-x₂²＞1，?ln（2-x₁²）＞ln（2-x₂²）＞0．
又

1

x1

＞

1

x2

＞1，
所以

ln(2- x 2 1 )

x1

＞

ln(2- x 2 2 )

x2

，
即f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．
（3）由程序框圖知，公差不為零的等差數(shù)列{a_n}要滿足條件，
則必有f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）=0．
由（1）知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以要構(gòu)造滿足條件的等差數(shù)列{a_n}，可利用等差數(shù)列的性質(zhì)，只需等差數(shù)列{a_n}
滿足：a₁+a₁₀=a₂+a₉═a₅+a₆=0
且an∈(-

2

，0)∪(0，

2

)即可．
我們可以先確定a₅，a₆使得a₅+a₆=0，因?yàn)楣�差不為零的等差�?shù)列{a_n}必是單調(diào)的數(shù)列，只要它的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)在(-

2

，0)∪(0，

2

)中，即可滿足要求．
所以只要a₅，a₆
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)盡可能的接近原點(diǎn)．如取a₅=-0.1，a₆=0.1，存在滿足條件的一個(gè)等差數(shù)列{a_n}可以是a_n=0.2n-1.1（1≤n≤10，n∈N^*）．
（文科）（1）由題意，不難發(fā)現(xiàn)A、C兩點(diǎn)分別在x軸正負(fù)半軸上．設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（a，0），C（c，0），
則有ac＜0．
對(duì)于圓方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
當(dāng)y=0時(shí)，可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，于是有x_Ax_C=ac=F．
因?yàn)閍c＜0，故F＜0．
（2）對(duì)角線互相垂直的四邊形ABCD面積S=

|AC|•|BD|

2

，
因?yàn)镾=8，|AC|=2，可得|BD|=8．
又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AB

•

AD

=0，
所以∠A為直角，而因?yàn)樗倪呅问菆AM的內(nèi)接四邊形，
故|BD|=2r=8?r=4．
對(duì)于方程x²+y²+Dx+Ey+F=0所表示的圓，
可知

D2

4

+

E2

4

-F=r2，
所以D²+E²-4F=4r²=64．
（3）證：設(shè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
則可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為(

c

2

，

d

2

)，即

OG

=(

c

2

，

d

2

)．
又

AB

=(-a，b)，且AB⊥OH，故要使G、O、H三點(diǎn)共線，只需證

AB

•

OG

=0即可．
而

AB

•

OG

=

bd-ac

2

，且對(duì)于圓M的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
當(dāng)y=0時(shí)可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，
于是有x_Ax_C=ac=F．
同理，當(dāng)x=0時(shí)，可得y²+Ey+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)B和點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，
于是有y_By_D=bd=F．
所以，

AB

•

OG

=

bd-ac

2

=0，即AB⊥OG．
故O、G、H必定三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)文理合卷的題目，有兩個(gè)題目分別考查函數(shù)的性質(zhì)和直線與圓的方程，本題解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，抓住解題的主要方法．