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設數列{a_n}（n=1，2，…）是等差數列，且公差為d，若數列{a_n}中任意（不同）兩項之和仍是該數列中的一項，則稱該數列是“封閉數列”．
（1）若a₁=4，d=2，判斷該數列是否為“封閉數列”，并說明理由？
（2）設S_n是數列{a_n}的前n項和，若公差d=1，a₁＞0，試問：是否存在這樣的“封閉數列”，使

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)=

11

9

；若存在，求{a_n}的通項公式，若不存在，說明理由；
（3）試問：數列{a_n}為“封閉數列”的充要條件是什么？給出你的結論并加以證明．

設數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且對任意正整數n，點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在實數λ，使得數列{Sn+λ•n+

λ

2n

}為等差數列？若存在，求出λ的值；若不存在，則說明理由．
（Ⅲ）求證：

1

6

≤

n

k=1

2-k

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

2

．

已知{a_n}是等差數列，d為公差且不為0，a₁和d均為實數，它的前n項和記作S_n，設集合A={（a_n，

Sn

n

）|n∈N^*}，B={（x，y）|

1

4

x²-y²=1，x，y∈R}．試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明：
（1）若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上；
（2）A∩B至多有一個元素；
（3）當a₁≠0時，一定有A∩B≠∅．