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        1. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且對(duì)任意正整數(shù)n,點(diǎn)(an+1,Sn)在直線2x+y-2=0上.
          (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列{Sn+λ•n+
          λ
          2n
          }
          為等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,則說(shuō)明理由.
          (Ⅲ)求證:
          1
          6
          n
          k=1
          2-k
          (ak+1)(ak+1+1)
          1
          2
          分析:(Ⅰ)利用數(shù)列{an}的前n項(xiàng)Sn與an的關(guān)系通過(guò)相減的思想得到數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵,證明出該數(shù)列是特殊數(shù)列,進(jìn)而確定出其通項(xiàng)公式;
          (Ⅱ)解法一:確定出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵,數(shù)列為等差數(shù)列首先保證其前3項(xiàng)滿足等差數(shù)列的關(guān)系,得出關(guān)于λ的方程,從而確定出λ的值;
          解法二:先確定出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn的表達(dá)式,利用數(shù)列為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征尋找關(guān)于λ的方程,通過(guò)求解方程確定出λ的值;
          (Ⅲ)對(duì)該和式的通項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵,用到了裂項(xiàng)求和的思想,求出該和式,利用函數(shù)的單調(diào)性完成該不等式的證明.
          解答:解:(Ⅰ)由題意可得:2an+1+Sn-2=0.①n≥2時(shí),2an+Sn-1-2=0.②
          ①─②得2an+1-2an+an=0?
          an+1
          an
          =
          1
          2
          (n≥2)

          a1=1, 2a2+a1=2?a2=
          1
          2

          ∴{an}是首項(xiàng)為1,公比為
          1
          2
          的等比數(shù)列,∴an=(
          1
          2
          )n-1

          (Ⅱ)解法一:∵Sn=
          1-
          1
          2n
          1-
          1
          2
          =2-
          1
          2n-1

          {Sn+λ•n+
          λ
          2n
          }
          為等差數(shù)列,
          S1+λ+
          λ
          2
          S2+2λ+
          λ
          22
          , S3+3λ+
          λ
          23
          成等差數(shù)列,
          2(S2+
          4
          )=S1+
          2
          +S3+
          25λ
          8
          ?2(
          3
          2
          +
          4
          )=1+
          2
          +
          7
          4
          +
          25λ
          8
          ,
          得λ=2.
          又λ=2時(shí),Sn+2n+
          2
          2n
          =2n+2
          ,顯然{2n+2}成等差數(shù)列,
          故存在實(shí)數(shù)λ=2,使得數(shù)列{Sn+λn+
          λ
          2n
          }
          成等差數(shù)列.
          解法二:∵Sn=
          1-
          1
          2n
          1-
          1
          2
          =2-
          1
          2n-1

          Sn+λn+
          λ
          2n
          =2-
          1
          2n-1
          +λn+
          λ
          2n
          =2+λn+(λ-2)
          1
          2n

          欲使{Sn+λ•n+
          λ
          2n
          }
          成等差數(shù)列,只須λ-2=0即λ=2便可.
          故存在實(shí)數(shù)λ=2,使得數(shù)列{Sn+λn+
          λ
          2n
          }
          成等差數(shù)列.
          (Ⅲ)證明:∵
          1
          (ak+1)(ak+1+1)

          =
          1
          (
          1
          2k-1
          +1)(
          1
          2k
          +1)
          =2k(
          1
          1
          2k
          +1
          -
          1
          1
          2k-1
          +1
          )

          n
          k=1
          2-k
          (ak+1)(akt+1+1)
          =
          n
          k=1
          (
          1
          1
          2k
          +1
          -
          1
          1
          2k-1
          +1
          )

          =(
          1
          1
          2
          +1
          -
          1
          1+1
          )+
          (
          1
          1
          22
          +1
          -
          1
          1
          2
          +1
          )+
          +(
          1
          1
          2t
          +1
          -
          1
          1
          2k-1
          +1
          )

          =-
          1
          1+1
          +
          1
          1
          2k
          +1
          =
          2k
          2k+1
          -
          1
          2

          又函數(shù)y=
          2x
          2x+1
          =
          1
          1
          2x
          +1
          在x∈[1,+∞)上為增函數(shù),
          21
          21+1
          2k
          2k+1
          <1

          2
          3
          -
          1
          2
          2k
          2k+1
          -
          1
          2
          <1-
          1
          2
          ,
          1
          6
          n
          k=1
          2-k
          (ak+1)(ak+1+1)
          1
          2
          點(diǎn)評(píng):本題屬于數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想,考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和意識(shí),要用好數(shù)列的前n項(xiàng) Sn與an的關(guān)系,等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)公式,裂項(xiàng)求和的思想和方法,數(shù)列的函數(shù)意識(shí).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,且Sn=3n+1.
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,a1=
          3
          2
          ,Sn=2an+1-3

          (1)求a2,a3;
          (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
          (3)設(shè)bn=(2log
          3
          2
          an+1)•an
          ,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Tn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+
          3
          2
          ×(-1)n-
          1
          2
          ,n∈N*
          (Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
          (Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (Ⅲ)證明:
          1
          S1
          +
          1
          S2
          +…+
          1
          Sn
          10
          9
          ,n∈N*

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          不等式組
          x≥0
          y≥0
          nx+y≤4n
          所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,若Dn內(nèi)的整點(diǎn)(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為an(n∈N*
          (1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過(guò)程),
          (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnTn=
          Sn
          5•2n
          ,若對(duì)一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則
          S4
          a3
          的值為( 。

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