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（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，求證：平面；
（Ⅲ）求四棱錐的體積．

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（Ⅰ）如圖1，A，B，C是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)C在直線AB上，試證明：存在實(shí)數(shù)λ，使得：

PC

=λ

PA

+(1-λ)

PB

．
（Ⅱ）如圖2，設(shè)G為△ABC的重心，PQ過(guò)G點(diǎn)且與AB、AC（或其延長(zhǎng)線）分別交于P，Q點(diǎn)，若

AP

=m

AB

，

AQ

=n

AC

，試探究：

1

m

+

1

n

的值是否為定值，若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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一、選擇題   D C C C A    C B CAB   D B

二、填空題  13.  14.  15. -8  16.

三、解答題

17.(10分)  解：（Ⅰ）由已知得

由余弦定理得，即…………………………3分

因?yàn)殇J角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以，則

………………………6分

（Ⅱ），則．將，代入余弦定理：得解得．…10分

18.（12分） 解：（Ⅰ）依題意，當(dāng)甲連勝局或乙連勝局時(shí)，第二局賽完時(shí)比賽結(jié)束．

有．   解得或．  ，  ．…5分                            

（Ⅱ）依題意知，的所有可能值為2，4，6．       

設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠啠瑒t該輪賽完時(shí)比賽結(jié)束的概率為．

若該輪賽完時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得1分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響．

從而有，　， ．

隨機(jī)變量的分布列為：                           

2

4

6

…………………………………………………………………………………………10分

   ………………………………………………12分

19.（12分）解：（Ⅰ）,面,

,又,

面.    …………………………………………………………4分

（Ⅱ）過(guò)作垂足為，則．

過(guò)作，垂足為，由三垂線定理得;

是所求二面角的平面角.……………………6分
設(shè)，，

在中，由，

得，所以．

在中,,，

故所求二面角的度數(shù)為．…………………………………………8分

（Ⅲ）面,要使,由三垂線定理可知，只需,

為菱形，此時(shí)

又,要使為中點(diǎn)，只需,

即為正三角形，．

,且點(diǎn)D落在BC上，即為側(cè)棱與底面所成的角．

故當(dāng)時(shí)， 且使點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．………………12分

20.（12分）

 解：(Ⅰ)    

_{…………………………………………………………………………………………2分}

由．

  ……5分

（Ⅱ）若的圖像與的圖像恰有四個(gè)不同交點(diǎn)，

即有四個(gè)不同的根，亦即方程有四個(gè)不同的根．…………………7分

令，

則．…………………8分

當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：

-1

(-1,0)

0

(0,1)

1

(1,)

的符號(hào)

+

0

-

0

+

0

-

的單調(diào)性

ㄊ

極大值

ㄋ

極小值

ㄊ

極大值

ㄋ

由表格知：．……10分

可知，當(dāng)時(shí)，

_{…………………12分}

21.（12分）解：(Ⅰ)由題意：點(diǎn)P是AB的垂直平分線與BF的交點(diǎn)，

且

    ∴P點(diǎn)軌跡為以A、F為焦點(diǎn)的橢圓.………………………………3分

設(shè)方程為

……………………………………………6分

（Ⅱ）假設(shè)存在滿足題意的直線l，若l斜率不存在，易知

不符合題意，故其斜率存在，設(shè)為k，設(shè)

……………8分

解得   代入驗(yàn)證成立

…………………………………………12分

22. 解：（Ⅰ） 由   

 ∴   ……………………………………………………3分

（Ⅱ）∵

∴，

∴…………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

而

當(dāng)時(shí)，

法1：∴

∴…………………………12分

法2：原不等式只需證：

∵時(shí)，

∴    

∴