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已知函數(shù)f(x)=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x）．對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁、x₂，證明：
（Ⅰ）當(dāng)a≤0時(shí)，

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)；
（Ⅱ）當(dāng)a≤4時(shí)，|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x²-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，證明：a³+b³比a²b+ab²遠(yuǎn)離2ab

ab

；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

（類型A）已知函數(shù)f（x）=x2+

2

x

+alnx(x＞0)，f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x），對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x₁，x₂，證明：
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)
（2）當(dāng)a≤4時(shí)，|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|
（類型B）某旅行社在暑假期間推出如下旅游團(tuán)組團(tuán)辦法：達(dá)到100人的團(tuán)體，每人收費(fèi)1000元．如果團(tuán)體的人數(shù)超過100人，那么每超過1人，每人平均收費(fèi)降低5元，但團(tuán)體人數(shù)不能超過180人．如何組團(tuán)，可使旅行社的收費(fèi)最多？