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				已知函數(shù)f(x)=x2+
          2
          x
          +alnx(x＞0)          ，f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′（x）．對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1、x2，證明：
          （Ⅰ）當(dāng)a≤0時(shí)，
          f(x1)+f(x2)
          2
          ＞f(
          x1+x2
          2
          )          ；
          （Ⅱ）當(dāng)a≤4時(shí)，|f′（x1）-f′（x2）|＞|x1-x2|．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：（1）將x1，x2代入整理，再由基本不等式可證．
          （2）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，將x1，x2代入整理變形，轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，有2+
          2(x1+x2)
          x12x22
          -
          a
          x1x2
          ＞1          恒成立，從而得證．
          解答：解：證明：（Ⅰ）由f(x)=x2+
          2
          x
          +alnx
          得
          f(x1)+f(x2)
          2
          =
          1
          2
          (x12+x22)+(
          1
          x1
          +
          1
          x2
          )+
          a
          2
          (lnx1+lnx2)          =
          1
          2
          (x12+x22)+
          x1+x2
          x1x2
          +aln
          		x1x2
          f(
          x1+x2
          2
          )=(
          x1+x2
          2
          )2+
          4
          x1+x2
          +aln
          x1+x2
          2

          而
          1
          2
          (x12+x22)＞
          1
          4
          [(x12+x22)+2x1x2]2=(
          x1+x2
          2
          )2          ①
          又（x1+x2）2=（x12+x22）+2x1x2＞4x1x2
          ∴
          x1+x2
          x1x2
          ＞
          4
          x1+x2
          ②
          ∵
          		x1x2
          ＜
          x1+x2
          2

          ∴ln
          		x1x2
          ＜ln
          x1+x2
          2

          ∵a≤0，
          aln
          		x1x2
          ?≥aln（
          x1+x2
          2
          ③
          由①、②、③得
          1
          2
          （x12+x22）+
          x1+x2
          x1x2
          +aln
          		x1x2
          ?＞（
          x1+x2
          2
          ）2+
          4
          x1+x2
          +aln
          		x1x2
          ，
          即
          f(x1)+f(x2)
          2
          ＞f(
          x1+x2
          2
          )          ．
          （Ⅱ）證法一：由f(x)=x2+
          2
          x
          +alnx          ，得f′(x)=2x-
          2
          x2
          +
          a
          x

          ∴|f′(x1)-f′(x2)|=|(2x1-
          2
          x12
          +
          a
          x1
          )-(2x2-
          2
          x22
          +
          a
          x2
          )|          =|x1-x2|•|2+
          2(x1+x2)
          x12x22
          -
          a
          x1x2
          |          |f′(x1)-f′(x2)|＞|x1-x2|?|2+
          2(x1+x2)
          x12x22
          -
          a
          x1x2
          |＞1
          下面證明對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，有2+
          2(x1+x2)
          x12x22
          -
          a
          x1x2
          ＞1          恒成立
          即證a＜x1x2+
          2(x1+x2)
          x1x2
          成立
          ∵x1x2+
          2(x1+x2)
          x1x2
          ＞x1x2+
          4
          		x1x2

          設(shè)t=
          		x1x2
          ，u(x)=t2+
          4
          t
          (t＞0)          ，
          則u′(x)=2t-
          4
          t2
          ，
          令u′（x）=0得t=
          32
          ，列表如下：
          精英家教網(wǎng)u(t)≥3
          34
          =
          3108
          ＞4≥a
          ∴x1x2+
          2(x1+x2)
          x1x2
          ＞a
          ∴對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，恒有|f'（x1）-f'（x2）|＞|x1-x2|
          證法二：由f(x)=x2+
          2
          x
          +alnx          ，
          得f′(x)=2x-
          2
          x2
          +
          a
          x

          ∴|f′(x1)-f′(x2)|=|(2x1-
          2
          x12
          +
          a
          x1
          )-(2x2-
          2
          x22
          +
          a
          x2
          )|          =|x1-x2|•|2+
          2(x1+x2)
          x12x22
          -
          a
          x1x2
          |
          ∵x1，x2是兩個(gè)不相等的正數(shù)
          ∴2+
          2(x1+x2)
          x12x22
          -
          a
          x1x2
          ＞2+
          4
          (
          		x1x2
          )          3
          -
          a
          x1x2
          ≥2+
          4
          (
          		x1x2
          )          3
          -
          4
          x1x2

          設(shè)t=
          1
          		x1x2
          ，u（t）=2+4t3-4t2（t＞0）
          則u′（t）=4t（3t-2），列表：
          精英家教網(wǎng)
          ∴u=
          38
          27
          ＞1          即2+
          2(x1+x2)
          x12x22
          -
          a
          x1x2
          ＞1
          ∴|f′(x1)-f′(x2)|═|x1-x2|•|2+
          2(x1+x2)
          x12x22
          -
          a
          x1x2
          |＞|x1-x2|
          即對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1，x2，恒有|f′（x1）-f′（x2）|＞|x1-x2|
          點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)和應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識(shí)及綜合分析、推理論證的能力．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊(cè)系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
          （1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
          （2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2，x∈(0，+∞)          ，其中0＜a＜b．
          （1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
          （2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
          （3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
          求證：f1(x)+f2(x)＞
          4c2
          k(k+c)
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題
				題型：022
			
          

						
          

          已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．
          

          

          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：上海模擬
				題型：解答題
			
          

						
          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2，x∈(0，+∞)          ，其中0＜a＜b．
          （1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
          （2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
          （3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
          求證：f1(x)+f2(x)＞
          4c2
          k(k+c)
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）
				題型：選擇題
			
          

						
          已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
          A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
          B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
          C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
          D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)
          

			
          

			
          
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