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        1. 已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),f(x)=(x-1)2+(
          2
          x
          -1)
          2
          =(x2+
          4
          x2
          )-2(x+
          2
          x
          )+2
          x+
          2
          x
          =t(t≥2
          2
          ),y=t2-2t-2=(t-1)2-3
          ∴函數(shù)在[2
          2
          ,+∞)上單調(diào)增,∴y≥6-4
          2

          ∴f(x)的最小值為6-4
          2

          (2)f(x)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,等價(jià)于f(x)min≥2m-1
          f(x)=(
          x
          a
          -1)
          2
          +(
          b
          x
          -1)
          2
          =(
          x
          a
          +
          b
          x
          )
          2
          -2(
          x
          a
          +
          b
          x
          )-
          2b
          a
          +2
          x
          a
          +
          b
          x
          =t(t≥2
          b
          a
          ),則y=t2-2t-
          2b
          a
          +2
          ∴函數(shù)在[2
          b
          a
          ,+∞)上單調(diào)增,∴y≥2(
          b
          a
          -2
          b
          a
          +1)
          >0
          ∴0≥2m-1
          ∴m≤0;
          (3)因?yàn)?span mathtag="math" >
          1
          2
          (a2+b2)≥(
          a+b
          2
          )
          2
          ,所以(
          x
          a
          -1)
          2
          +(
          b
          x
          -1)
          2
          1
          2
          (
          x
          a
          +
          b
          x
          -2)
          2
          >2(
          b
          a
          -1)
          2

          當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),
          b
          a
          =(1+
          c
          k
          )
          2
          ;當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),
          b
          a
          =(1+
          c
          k+c
          )
          2

          所以f1(x)+f2(x)>2(
          c
          k
          2+2(
          c
          k+c
          2)>
          4c2
          k(k+c)
          (因?yàn)?<a<b,所以等號(hào)取不到)
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          3x+5,(x≤0)
          x+5,(0<x≤1)
          -2x+8,(x>1)
          ,
          求(1)f(
          1
          π
          ),f[f(-1)]
          的值;
          (2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
          (1-3a)x+10ax≤7
          ax-7x>7.
          是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
          A、(
          1
          3
          ,1)
          B、(
          1
          3
          1
          2
          ]
          C、(
          1
          3
          6
          11
          ]
          D、[
          6
          11
          ,1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          |x-1|-a
          1-x2
          是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          2x-2-x2x+2-x

          (1)求f(x)的定義域與值域;
          (2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
          (3)研究f(x)的單調(diào)性.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          x-1x+a
          +ln(x+1)
          ,其中實(shí)數(shù)a≠1.
          (1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
          (2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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