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已知橢圓的離心率為，直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
（III）設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足求的取值范圍.

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如圖，已知F（2，0）為橢圓（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，AB為橢圓的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦），線段OF的垂直平分線與橢圓相交于兩點(diǎn)C、D，且∠CAD=90°．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)F斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)P、Q．若存在一定點(diǎn)E（m，0），使得x軸上的任意一點(diǎn)（異于點(diǎn)E、F）到直線EP、EQ的距離相等，求m的值．

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說(shuō)明：

    一、本解答指出了每題要考察的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如

果考生的解法與本解法不同，可根據(jù)試題的主要考察內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)指定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)

則。

    二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一部分解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程

度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答

有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。

    三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

    四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分。

1．B   2．A  3．B  4．A  5．B   6．C  7．A  8．B   9．C  10．B  11．D  12．D

二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，每小題4分，滿分16分。

13．1     14．      15．5      16．8

三、解答題：本大題共6小題，滿分74分，解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。

17．本題主要考查平面向量的數(shù)量積，兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，滿分12分。

解：

  （I）

………………………………………2分

  即函數(shù)的解析式為 ?????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ） ??????????????????????????????????????? 6分

所以函數(shù)最小正周期???????????????????????????????????????????????????? 8分

當(dāng)即時(shí)

取最大值，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

使函數(shù)取最大值的的集合為???????????????????????????????? 12分

18．本題主要考查空間幾何體的直觀圖、三視圖，空間線面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考察空間想象能力及推理論證能力，滿分12分。

解（I）由三視圖知這個(gè)多面體是一個(gè)水平放置的柱體，它的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱垂直于底面且長(zhǎng)為       2分

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

???????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

（Ⅱ）連結(jié)

四邊形是平行四邊形，

過(guò)點(diǎn)。

為的中點(diǎn)，………………………………………8分

又是的中點(diǎn)，

，

平面平面

平面…………………………………………12分

19．本題主要考等差數(shù)列、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)：考查推理論證與運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿分12分。

解（I）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，

數(shù)列是以首項(xiàng)為2公差為2的等差數(shù)列，???????????????????????????????????????? 2分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

，????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

???????????????????????? 10分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí)。

滿分12分。

解：（I）設(shè)樣本容量為，則，所以

所以樣本的容量為120???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅱ）設(shè)成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生有個(gè)，

則，所以????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分

（Ⅲ）設(shè)成績(jī)?cè)?20分到150分的學(xué)生中，男生比女生多的事件記為A，男生數(shù)與女生書(shū)記為數(shù)對(duì)（），則基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），

（10，10），（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），

（18，2），（19，1），（20，0），共16對(duì)????????????????????????????????????????????????? 9分

而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），

（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10對(duì)。

所以??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

21．本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力及數(shù)形結(jié)合思想。滿分12分。

解：（I）

????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

依題意得??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）

等價(jià)于???????????????????????????????????????????????????? 6分

①當(dāng)時(shí)恒成立，

的單調(diào)遞增區(qū)間為?????????????????????????????????????????????????????????? 8分

②當(dāng)時(shí)，由得

的單調(diào)遞增區(qū)間為?????????????????????????????????????????????????????? 11分

綜上所述：當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為???????????????????????????????????????? 12分

22．本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想。滿分14分。

解：（I）設(shè)橢圓E的方程為

由已知得：

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

橢圓E的方程為?????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

（Ⅱ）設(shè)，線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則：

由得

化簡(jiǎn)得：

……5分

直線過(guò)點(diǎn)

而點(diǎn)在橢圓E內(nèi)，

?????????????????????????????????????????????????????????? 6分

所以PQ中垂直的方程為：

所以直線在軸上的截距??????????????????????????????????????? 8分

??????????????????????????????????????????????????????????? 9分

（Ⅲ）假設(shè)存在符號(hào)條件的點(diǎn)，則由（Ⅱ）得：

         ????????????????????????????????????????????????? 10分

????????????????????????? 11分

所以

            ?????????????????????????????????????????? 12分

設(shè)

即

對(duì)于任意實(shí)數(shù)，上式恒成立，

所以????????????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

得

所以符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為???????????????????????????????????????????? 14分