題目列表(包括答案和解析)
如圖所示，某公園要在一塊綠地的中央修建兩個相同的矩形的池塘，每個面積為10000米2，池塘前方要留4米寬的走道，其余各方為2米寬的走道，問每個池塘的長寬各為多少米時占地總面積最少？
【解析】本試題主要考查了函數(shù)在實際中的運(yùn)用。運(yùn)用均值不等式求解函數(shù)的最值的運(yùn)用。
某化工廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定（平面圖如圖所示）.如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計，試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價。
【解析】本試題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。首先設(shè)變量
設(shè)寬為
則長為
，依題意，總造價
當(dāng)且僅當(dāng)
即
取等號
（元）得到結(jié)論。
設(shè)寬為則長為，依題意，總造價
………6分
當(dāng)且僅當(dāng)即取等號
（元）……………………10分
故當(dāng)處理池寬為10米，長為16.2米時能使總造價最低，且最低總造價為38880元
某校從參加高三年級理科綜合物理考試的學(xué)生中隨機(jī)抽出
名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績（均為整數(shù)）分成六段
，
…
后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求分?jǐn)?shù)在
內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計本次考試的
平均分；
（Ⅲ）若從名學(xué)生中隨機(jī)抽取
人，抽到的學(xué)生成績在
記
分，在
記
分，
在
記分，用
表示抽取結(jié)束后的總記分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【解析】（1）中利用直方圖中面積和為1，可以求解得到分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為
（2）中結(jié)合平均值可以得到平均分為：
（3）中用表示抽取結(jié)束后的總記分x, 學(xué)生成績在的有
人，在的有
人，在的有
人,結(jié)合古典概型的概率公式求解得到。
(Ⅰ)設(shè)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為
，根據(jù)頻率分布直方圖，則有
，可得，所以頻率分布直方圖如右圖.……4分
（求解頻率3分，畫圖1分）
（Ⅱ）平均分為：……7分
（Ⅲ）學(xué)生成績在的有人，在的有人，
在的有人.并且的可能取值是
. ………8分
則
；
；
；
；
.（每個1分）
所以的分布列為
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
…………………13分
如圖,已知圓錐體
的側(cè)面積為
，底面半徑
和
互相垂直，且
，
是母線
的中點(diǎn).
（1）求圓錐體的體積；
（2）異面直線與
所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）．
【解析】本試題主要考查了圓錐的體積和異面直線的所成的角的大小的求解。
第一問中，由題意，
得
，故
從而體積
.2中取OB中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)PH,AH.
由P是SB的中點(diǎn)知PH//SO，則
(或其補(bǔ)角)就是異面直線SO與PA所成角.
由SO
平面OAB,
PH平面OAB,PHAH.在
OAH中，由OAOB得
；
在
中，
，PH=1/2SB=2，，
則
，所以異面直線SO與P成角的大arctan
解：（1）由題意，得，
故從而體積.
（2）如圖2，取OB中點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)PH,AH.
由P是SB的中點(diǎn)知PH//SO，則(或其補(bǔ)角)就是異面直線SO與PA所成角.
由SO平面OAB,PH平面OAB,PHAH.
在OAH中，由OAOB得；
在中，，PH=1/2SB=2，，
則，所以異面直線SO與P成角的大arctan
設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表，
|
a |
b |
c |
|
d |
e |
f |
滿足性質(zhì)P：a，b，c，d，e，f
，且a+b+c+d+e+f=0
記
為A的第i行各數(shù)之和（i=1,2）, 
為A的第j列各數(shù)之和（j=1,2,3）記
為
中的最小值。
（1）對如下表A，求的值
|
1 |
1 |
-0.8 |
|
0.1 |
-0.3 |
-1 |
(2)設(shè)數(shù)表A形如
|
1 |
1 |
-1-2d |
|
d |
d |
-1 |
其中
，求的最大值
（3）對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A，求的最大值。
【解析】（1）因為
，
，所以
（2）
，
因為，所以
，
所以
當(dāng)d=0時，取得最大值1
（3）任給滿足性質(zhì)P的數(shù)表A（如圖所示）
|
a |
b |
c |
|
d |
e |
f |
任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每個數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表
仍滿足性質(zhì)P，并且
，因此，不妨設(shè)
，
，
由得定義知，
，
，
，
從而
所以，
，由（2）知，存在滿足性質(zhì)P的數(shù)表A使
，故的最大值為1
【考點(diǎn)定位】此題作為壓軸題難度較大，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，考查學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力
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