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練習冊

練習冊
試題

華南師大附中2007―2008學年度高三綜合測試（二）

數(shù)學試題（理科）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

2．若θ是第二象限的角，則下列四個值中，恒小于零的是（） A． B． C． D．cot

3．已知上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前三項的和為21，則a₃+ a₄+ a₅= （）

A．33 B．72 C．84 D．189

葉形圖（陰影部分），其面積是（）

A．1 B．

C． D．

6．已知上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2，2]上的最小值為（）

A．－37 B．－29 C．－5 D．－11

7．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y=x²，值域為{1，4}的“同族函數(shù)”共有（）

A．9個 B．8個 C．5個 D．4個

8．已知是定義在R上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，對于函數(shù)有下列幾種描述

①是周期函數(shù) ②是它的一條對稱軸

③是它圖象的一個對稱中心 ④當時，它一定取最大值

其中描述正確的是（）

A．①② B．①③ C．②④ D．②③

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9．已知等差數(shù)列{a_n}前17項和S₁₇=51，則a₇+ a₁₁=

2,4,6

11．在4和67之間插入一個n項的等差數(shù)列后，仍是一個等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的所有項之和等于781，則n的值為

12．已知函數(shù)的定義域，則函數(shù)的定義域是

13．在△ABC中，a，b，c分別為∠A、∠B、∠C、的對邊，若a，b，c成等差數(shù)列，，且△ABC的面積為，則b=

14．規(guī)定一種運算：，例如：12=1，32=2，則函數(shù)的值域為 .

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）求證：函數(shù)是偶函數(shù)；

（Ⅱ）判斷函數(shù)分別在區(qū)間上的單調(diào)性，并加以證明.

16．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0，1）、B（）. 當時，的最大值為

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）由的圖象經(jīng)過怎樣的變換可得到的圖象.

17．（本小題滿分14分）

在數(shù)列

（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列{}的前n項和S_n.

18．（本小題滿分14分）

19．（本小題滿分14分）

已知b>－1，c>0，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切.

（Ⅰ）設(shè)

（Ⅱ）是否存在常數(shù)c，使得函數(shù)內(nèi)有極值點？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由.

20．（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，若存在，則稱是函數(shù)的一個不動點，設(shè)

（Ⅰ）求函數(shù)的不動點；

（Ⅱ）對（Ⅰ）中的二個不動點a、b（假設(shè)a>b），求使恒成立的常數(shù)k的值；

（Ⅲ）對由a₁=1，a_n=定義的數(shù)列{a_n}，求其通項公式a_n.

華南師大附中2007―2008學年度高三綜合測試（二）

一、選擇題

1．C 解析：關(guān)于y軸的對稱圖形，可得的

圖象，再向右平移一個單位，即可得的圖象，即的圖

2,4,6

2．A 解析：由題可知，故選A.

3．D 解析：上恒成立，即恒成立，故選D.

4．C 解析：令公比為q，由a₁=3，前三項的和為21可得q²+q－6=0，各項都為正數(shù)，所以q=2，所以，故選C.

5．C 解析：由圖可知，陰影部分面積.

6．A 解析：故在[－2，2]上最大值為，所以最小值為，故選A.

7．A 解析：y值對應1，x可對應±1，y值對應4，x可對應±2，故定義域共有{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{－，1，－2，2}共9種情況.

8．B 可采取特例法，例皆為滿足條件的函數(shù)，一一驗證可知選B.

二、填空題：

9．答案：6 解析：∵ ∴a₇+a₁₁=6.

10．答案a=3、2π 解析：的上半圓

面積，故為2π.

11．答案：20 解析：由數(shù)列相關(guān)知識可知

12．答案：

解析：由題可知，故定義域為

13．答案：2 解析：由a，b，c成等差數(shù)列知①，由②，

由c>b>a知角B為銳角，③，聯(lián)立①②③得b=2.

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故當時，

三、解答題：

15．解：（Ⅰ）由題可知函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱.

當，

則，

∴

當

則，

∴

綜上所述，對于，∴函數(shù)是偶函數(shù).

（Ⅱ）當x>0時，，

設(shè)

當

∴函數(shù)上是減函數(shù)，函數(shù)上是增函數(shù).

（另證：當；

∵

∴函數(shù)上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

16．解：（Ⅰ）∵函數(shù)圖象過點A（0，1）、B（，1）

∴b=c

∴

∵當

∴ ③

聯(lián)立②③得

（Ⅱ）①由圖象上所有點向左平移個單位得到的圖象

②由的圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?sub>倍，得到

的圖象

③由的圖象上所有點向下平移一個單位，得到

的圖象

17．（1）證明：由題設(shè)，得

又a₁－1=1，

所以數(shù)列{a_n－n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是數(shù)列{ a_n }的通項公式為

所以數(shù)列{a_n}的前n項和

18．分析：求停車場面積，需建立長方形的面積函數(shù). 這里自變量的選取十分關(guān)鍵，通常有代數(shù)和三角兩種設(shè)未知數(shù)的方法，如果設(shè)長方形PQCR的一邊長為x（不妨設(shè)PR=x），則另一邊長，

這樣S_PQCR=PQ?PR=x?（100－），但該函數(shù)的最值不易求得，如果將∠BAP作為自變量，用它可表示PQ、PR，再建立面積函數(shù)，則問題就容易得多，于是可求解如下；

解：延長RP交AB于M，設(shè)∠PAB=，則

AM=90

設(shè)， ∵

∴

∴當，S_PQCR有最大值

答：長方形停車場PQCR面積的最大值為平方米.

19．解：（Ⅰ）【方法一】由，

依題設(shè)可知，△=（b+1）²－4c=0.

∵.

∴

【方法二】依題設(shè)可知

∴為切點橫坐標，

于是，化簡得

同法一得

（Ⅱ）由

可得

令依題設(shè)欲使函數(shù)內(nèi)有極值點，

則須滿足

亦即，

又

故存在常數(shù)，使得函數(shù)內(nèi)有極值點.

（注：若，則應扣1分. ）

20．解：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

可知使恒成立的常數(shù)k=8.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

可知數(shù)列為首項，8為公比的等比數(shù)列

即以為首項，8為公比的等比數(shù)列. 則

.

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