Question

如圖所示，在X＞0，Y＞0的空間中存在兩個以水平面MN為界，磁感應強度大小均為B，方向相反的勻強磁場．一根上端開口、內壁光滑的絕緣細管，長為L，其底部有一質量為m、電量為+q的粒子．在水平外力作用下，保持細管始終平行于Y軸，沿X方向以速度v₀勻速向右運動，且B=

mv0

2qL

，不計粒子的重力．求：
（1）細管剛進入磁場時，粒子運動的加速度大小、方向；
（2）維持細管始終平行于Y軸向右勻速運動的過程中，水平外力所做的功；
（3）粒子第一次到達運動軌跡最高點的位置坐標．

Answer 1

分析：（1）求出細管剛進入磁場時，粒子受到的合力（洛倫茲力），然后根據牛頓第二定律求出加速度的大小及方向．
（2）粒子離開管子前，在豎直方向上受到恒定的力qv₀B，所以向上做勻加速直線運動，在水平方向上和管子一起做勻速直線運動．求出離開管子粒子的合速度，根據功能關系，求出水平外力所做的功．
（3）可求出粒子離開管子的合速度大小和方向，進入磁場后做勻速圓周運動，通過洛倫茲力提供向心力，求出勻速圓周運動的半徑．粒子離開管子前在豎直方向上做勻加速直線運動，求出勻加速直線運動的時間，可得知粒子在水平方向上的位移，根據幾何關系，求出最高點的橫坐標和縱坐標．

解答：解：（1）以粒子為研究對象，粒子剛進入磁場f₁=qv₀B    a1=

qv0B

m

=

v02

2L

     沿+Y方向   
    （2）粒子離開玻璃管前，在管中豎直方向做勻加速直線運動，水平方向做勻速運動，設粒子在管中豎直方向做加速運動的加速度a，粒子運動到管口時，粒子在豎直方向的分速為v₁，則
在豎直方向  a=a₁ v₁²=2aL
可解得      v₁=v₀
粒子離開玻璃管口時的速度 v′=

v2+ v 2 1

=

2

v0m/s
速度方向與MN成45°角
外力所做的功，
有功能關系         W_F=△E_k △EK=

1

2

m

v

2 0

可得         WF=

1

2

m

v

2 0

（3）粒子離開管口后，在磁場中做勻速圓周運動
在磁場中        qv′B=m

v′2

r

      r=

mv′

qB

=2

2

L
粒子在管中運動的時間t =

L

v1 2

=

2L

v0

粒子在管中運動的過程中發(fā)生的水平位移△x=v₀t=2L
軌跡最高點的位置坐標：x=△x+r?sin45°=4L    y=L+r(1-cos450)=(2

2

-1)L．．

點評：解決本題的關鍵理清粒子的運動，在管子中的運動可分解為水平方向和豎直方向，水平方向上勻速直線運動，豎直方向上勻加速直線運動．離開管子后做勻速圓周運動．