Question

如圖，半徑為R的1/4圓弧支架豎直放置，支架底AB離地的距離為2R，圓弧邊緣C處有一小定滑輪，一輕繩兩端系著質(zhì)量分別為m₁與m₂的物體，掛在定滑輪兩邊，且m₁＞m₂，開(kāi)始時(shí)m₁、m₂均靜止，m₁、m₂可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)一切摩擦．求：
（1）m₁釋放后經(jīng)過(guò)圓弧最低點(diǎn)A時(shí)的速度；
（2）若m₁到最低點(diǎn)時(shí)繩突然斷開(kāi)，求m₁落地點(diǎn)離A點(diǎn)水平距離；
（3）為使m₁能到達(dá)A點(diǎn)，m₁與m₂之間必須滿(mǎn)足什么關(guān)系？

Answer 1

分析：（1）兩個(gè)滑塊構(gòu)成的系統(tǒng)只有重力勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒；同時(shí)繩子不可伸長(zhǎng)，沿著繩子方向的分速度相等；
（2）繩子斷開(kāi)后，m₁落地落地前做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解；
（3）為使m₁能到達(dá)A點(diǎn)，則要求其速度大于零即可．

解答：解：（1）設(shè)m₁運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度為v₁，此時(shí)m₂的速度為v₂，速度分解如圖，

沿著繩子方向的速度相等，得：v₂=v₁sin45°  
由m₁與m₂組成系統(tǒng)，機(jī)械能守恒，有m1gR-m 2g

2

R=

1

2

m1

υ

2 1

+

1

2

m2

υ

2 2

   
由上述兩式求得υ1=2

(m1- 2 m2)gR 2m1+m2

（2）斷繩后m₁做平拋運(yùn)動(dòng)
t1=

2h g

=2

R g

s=v₁t₁
兩式聯(lián)立解得s=4R
（3）m₁能到達(dá)A點(diǎn)滿(mǎn)足條件v₁≥0 
又υ1=2

(m1- 2 m2)gR 2m 1+m2

解得：m1≥

2

m2
答：（1）m₁釋放后經(jīng)過(guò)圓弧最低點(diǎn)A時(shí)的速度為2

(m1- 2 m2)gR 2m1+m2

；
（2）若m₁到最低點(diǎn)時(shí)繩突然斷開(kāi)，m₁落地點(diǎn)離A點(diǎn)水平距離為4R；
（3）為使m₁能到達(dá)A點(diǎn)，m₁與m₂之間必須滿(mǎn)足關(guān)系為m1≥

2

m2．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是單個(gè)物體機(jī)械能不守恒，但兩個(gè)物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒；同時(shí)要明確通過(guò)繩子、輕桿連接的物體，沿著繩子、桿子方向的分速度一定相等．