Question

如圖所示，在第一、二象限存在場強(qiáng)均為E的勻強(qiáng)電場，其中第一象限的勻強(qiáng)電場的方向沿x軸正方向，第二象限的電場方向沿x軸負(fù)方向。在第三、四象限矩形區(qū)域ABCD內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，矩形區(qū)域的AB邊與x軸重合。M點(diǎn)是第一象限中無限靠近y軸的一點(diǎn)，在M點(diǎn)有一質(zhì)量為m、電荷量為e的質(zhì)子，以初速度v₀沿y軸負(fù)方向開始運(yùn)動(dòng)，恰好從N點(diǎn)進(jìn)入磁場，若OM＝2ON，不計(jì)質(zhì)子的重力，試求：

（1）N點(diǎn)橫坐標(biāo)d；

（2）若質(zhì)子經(jīng)過磁場最后能無限靠近M點(diǎn)，則矩形區(qū)域的最小面積是多少；

（3）在（2）的前提下，該質(zhì)子由M點(diǎn)出發(fā)返回到無限靠近M點(diǎn)所需的時(shí)間。

Answer 1

解：（1）粒子從M點(diǎn)到N點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，則有

（1分）    （1分）    （2分）

解得，（2分）

（2）根據(jù)題意作出質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

設(shè)粒子到達(dá)N點(diǎn)時(shí)沿x軸正方向分速度為v_x，則（1分）

質(zhì)子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為（2分）

質(zhì)子進(jìn)入磁場時(shí)速度方向與x軸正方向夾角為45^o（1分）

根據(jù)幾何關(guān)系，質(zhì)子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R＝，AB邊的最小長度為2R＝2，BC邊的最小長度為R+d＝+d，矩形區(qū)域的最小面積為S＝（2分）

（3）質(zhì)子在磁場中運(yùn)動(dòng)的圓心角為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t₂＝（1分）

又（2分）

根據(jù)對(duì)稱性，質(zhì)子在第二象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間與在第一象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，質(zhì)子在第一象限運(yùn)動(dòng)時(shí)間（1分）

質(zhì)子由M點(diǎn)出發(fā)返回M點(diǎn)所需的時(shí)間為：T＝2t₁+t₂＝+（2分）