Question

如圖，半徑為2R的

1

4

圓弧軌道AB和半徑為R的

1

4

圓弧軌道BC相切于B點(diǎn)，兩軌道置于豎直平面內(nèi)，在C點(diǎn)的正上方有一厚度不計的旋轉(zhuǎn)平臺，沿平臺的一條直徑上開有兩個小孔P、Q，兩孔離軸心等距離，旋轉(zhuǎn)時兩孔均能到達(dá)C點(diǎn)正上方，平臺離C點(diǎn)的高度為R，質(zhì)量為2m的小球1自A點(diǎn)由靜止開始下落，在B點(diǎn)與質(zhì)量為m的2球作彈性碰撞，碰后2球過C點(diǎn)，且恰能無碰撞穿過小孔P．
（1）兩球第一次碰撞后2球的速度大小
（2）欲使2球能從小孔Q落下，則平臺的角速度ω 應(yīng)滿足什么條件？（不計所有阻力）

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)動能定理求得小球1從A點(diǎn)處滑至B點(diǎn)時的速度．兩球發(fā)生的是彈性碰撞，滿足動量守恒和機(jī)械能守恒，根據(jù)兩大守恒定律列式求解兩球第一次碰撞后2球的速度大小．
（2）求出小球2在空中的運(yùn)動時間，由平臺轉(zhuǎn)動的周期性，再求解平臺的角速度ω 應(yīng)滿足什么條件．

解答：解：（1）設(shè)小球1在B點(diǎn)速度大小為v₀，則根據(jù)動能定理得：
2mg?2R=

1

2

?2mv₀²-0
解得：v₀=2

gR

兩球碰撞過程滿足動量守恒和機(jī)械能守恒，設(shè)兩球碰后速度大小為v₁和v₂，取碰撞前球1的速度方向?yàn)檎�方向，則：2mv₀=2mv₁+mv₂
且

1

2

?2mv₀²=

1

2

?2mv₁²+

1

2

?mv₂²
所以：v₂=

4

3

v₀=

8

3

gR

； v1=

1

3

v0=

2 gR

3

（2）對碰后B球上升至P的過程，由機(jī)械能守恒得：

1

2

mv₂²=

1

2

mv_P²+2mgR
解得：v_P=

2

3

7gR

而小球做豎直上拋的時間滿足：t=

2vp

g

又因?yàn)閠=

(2k+1)π

ω

   （k=0，1，2，3…）
所以角速度ω=

(2k+1)π

t

=

3(2k+1)π 7gR

28R

，（k=0，1，2，3…）
答：（1）兩球第一次碰撞后2球的速度大小為2

gR

．
（2）欲使2球能從小孔Q落下，則平臺的角速度ω 應(yīng)滿足ω=

3(2k+1)π 7gR

28R

，（k=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評：分析研究對象的運(yùn)動過程是解決動力學(xué)問題的前提，根據(jù)題目已知條件和求解的物理量選擇物理規(guī)律解決問題．本題關(guān)鍵要抓住圓周運(yùn)動的周期性得到角速度的表達(dá)式，不能當(dāng)作特殊值去求．