Question

天文工作者觀測(cè)某行星的半徑為R₁，自轉(zhuǎn)周期為T₁，它有一顆衛(wèi)星，軌道半徑為R₂，繞行星公轉(zhuǎn)周期為T₂．
則（1）該行星的平均密度為多大？
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆同步人造衛(wèi)星，使其軌道在赤道上方，則該人造衛(wèi)星的軌道半徑為多大？

Answer 1

（1）設(shè)該行星的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，則對(duì)衛(wèi)星 有：
  G

Mm

R 22

=m(

2π

T2

)2R2 ①
又行星的體積為 V=

4

3

π

R

31

 ②
所以該行星的平均密度為 ρ=

M

V

=

3π R 32

G T 22 R 31

 ③
（2）設(shè)該衛(wèi)星的同步人造衛(wèi)星的軌道半徑為r，有
   G

Mm′

r2

=m′(

2π

T1

)2r ④
所以由①④得，該人造衛(wèi)星的軌道半徑r=

3	T 21 T 22 ?

R．
答：
（1）該行星的平均密度為

3π R 32

G T 22 R 31

（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆同步人造衛(wèi)星，使其軌道在赤道上方，則該人造衛(wèi)星的軌道半徑為

3	T 21 T 22

?R．