Question

天文工作者觀測(cè)某行星的半徑為R₁，自轉(zhuǎn)周期為T₁，它有一顆衛(wèi)星，軌道半徑為R₂，繞行星公轉(zhuǎn)周期為T₂．
則（1）該行星的平均密度為多大？
（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆同步人造衛(wèi)星，使其軌道在赤道上方，則該人造衛(wèi)星的軌道半徑為多大？

Answer 1

分析：1、根據(jù)萬有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，可以列式求出行星的質(zhì)量M，進(jìn)一步求其密度；
2、該行星的同步衛(wèi)星的周期與該行星的自轉(zhuǎn)周期相同，根據(jù)萬有引力提供向心力及速度與周期的關(guān)系式，以及第一問中求出行星質(zhì)量M，化簡(jiǎn)可得該人造衛(wèi)星的軌道半徑．

解答：解：（1）設(shè)該行星的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，則對(duì)衛(wèi)星 有：
  G

Mm

R 2 2

=m(

2π

T2

)2R2 ①
又行星的體積為 V=

4

3

π

R

3 1

 ②
所以該行星的平均密度為 ρ=

M

V

=

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

 ③
（2）設(shè)該衛(wèi)星的同步人造衛(wèi)星的軌道半徑為r，有
   G

Mm′

r2

=m′(

2π

T1

)2r ④
所以由①④得，該人造衛(wèi)星的軌道半徑r=

3	T 2 1 T 2 2 ?

R．
答：
（1）該行星的平均密度為

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

（2）要在此行星的赤道上發(fā)射一顆同步人造衛(wèi)星，使其軌道在赤道上方，則該人造衛(wèi)星的軌道半徑為

3	T 2 1 T 2 2

?R．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)萬有引力提供向心力、同步衛(wèi)星的條件：同步衛(wèi)星的周期等于行星的自轉(zhuǎn)周期，即可進(jìn)行求解．